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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20778 5c74fe64210b28428f14cc73 高中 解答题 自招竞赛 在四变形 $ABCD$ 中，$\angle B={{90}^{\circ }}$，$AC\bot CD$，$AB=18$，$BC=21$，$CD=14$ 。试求该四边形的周长。 2022-04-17 20:55:02
20777 5c74fe75210b284290fc241f 高中 解答题 自招竞赛 试找出去掉最左端的数字后所得的新数是原数的 $\frac{1}{29}$ 的最小正整数。 2022-04-17 20:55:02
20776 5c74fe7d210b284290fc2425 高中 解答题 自招竞赛 设 $M\text{=1!2!3}\ldots \text{99!100!}$，$N$ 是 $M$ 末位连续零的个数，试求 $N$ 被1000除所得的余数。 2022-04-17 20:55:02
20775 5c74fe86210b28428f14cc7e 高中 解答题 自招竞赛 实数 $\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}$ 可写成 $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}$ 的形成式，其中 $a, b, c$ 是正整数，试求 $abc$ 。 2022-04-17 20:54:02
20774 5c74fe90210b284290fc242b 高中 解答题 自招竞赛 令 $S$ 是表示形如0。 $\overline{abc}$ 循环小数的实数集，其中 $a b c$ 是各不相同的数码，试求 $S$ 中所有元素的和。 2022-04-17 20:53:02
20773 5c74fe97210b284290fc2430 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在一组等距平行线所在的平面上作出一个角，阴影 $C$ 的面积与阴影 $B$ 的面积之比为 $\text{11}:\text{5}$，求阴影 $D$ 与阴影 $A$ 的面积之比。 2022-04-17 20:53:02
20772 5c74fea0210b284290fc2435 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，六边形 $ABCDEF$ 被分成5个菱形 $P $，$Q$，$R$，$S$，$T$ 。菱形 $P$，$Q$，$R$，$S$ 是全等的，面积都为 $\sqrt{2006}$ 。令 $K$ 为菱形 $T$ 的面积，已知 $K$ 是正整数，试求 $K$ 的所有可能值得个数。 2022-04-17 20:52:02
20771 5c74fea7210b284290fc243a 高中 解答题 自招竞赛 数列 ${{a}_{1}}, {{a}_{2}} ,\ldots $ 是等比数列，其中 ${{a}_{1}}=a$，公比为 $r$，$\left( a ,r是正整数 \right)$，已知 ${{\log }_{8}}{{a}_{1}}+{{\log }_{8}}{{a}_{2}}+\ldots +{{\log }_{8}}{{a}_{12}}=2006$，试求有序数对 $\left( a ,r \right)$ 的数目。 2022-04-17 20:52:02
20770 5c74feaf210b284290fc2440 高中 解答题 自招竞赛 如图24-3所示，坐标平面第一象限内放置了8个直径为1的圆，定义 $R$ 为该8个圆组成的区域。斜率为3的直线 $l$ 将 $R$ 分成两相等的部分，其表达式为 $ax=by+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 都是正整数且最大公约数为1。求 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ 。 2022-04-17 20:51:02
20769 5c74febd210b284290fc2445 高中 解答题 自招竞赛 有一组8个棱长为分别为1，2，…，8的立方体。现在要用这八个立方体修建一座塔（每个立方体都必须用到），并要按照以下规则
（1）塔的最低端可出现任一个立方体；
（2）在棱长为 $k$ 的立方体上面放置的立方体棱长至多为 $k+2$ 。
令 $T$ 为可建造的不同的塔的个数，试求 $T$ 被1000除的余数。		 2022-04-17 20:51:02
20768 5c74fec5210b284290fc244a 高中 解答题 自招竞赛 试求关于 $x$ 的方程 ${{\cos }^{3}}3x+{{\cos }^{3}}5x=8{{\cos }^{3}}4x{{\cos }^{3}}x$ 在 ${{100}^{\circ }}<x<{{200}^{\circ }}$ 上的所有根之和（单位：度）。 2022-04-17 20:50:02
20767 5c74fecd210b284290fc244f 高中 解答题 自招竞赛 对每个正偶数 $x$，定义 $g\left( x \right)$ 为 $x$ 的约数中2的最高次幂。例如，$g\left( 20 \right)=4$，$g\left( 16 \right)=16$ 。对任意正整数 $n$，记 $\displaystyle {{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{2n-1}{g}\left( 2k \right)$ 。试求小于1000且使的 ${{S}_{n}}$ 为完全平方数的最大正整数 $n$ 。 2022-04-17 20:49:02
20766 5c74fed4210b28428f14cc8a 高中 解答题 自招竞赛 三脚架每根支架5英尺长，当三脚架架起的时候，任三根支架所成的角相等，三脚架的顶端距地面4英尺，在一次架设的过程中，其中一根支架短了1英尺。令 $h$ 为损坏的三脚架架起时到地面的距离，已知 $h$ 可写成 $\frac{m}{\sqrt{n}}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任意素数的平方整除。试求 $\left\lfloor m+\sqrt{n} \right\rfloor $ 的值。（记 $\left\lfloor x \right\rfloor $ 为小于或等于 $x$ 的最大整数） 2022-04-17 20:48:02
20765 5c74fedb210b284290fc2456 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ 满足 ${{x}_{0}}=0$，$\left| {{x}_{k}} \right|=\left| {{x}_{k-1}}+3 \right|$，$k\geqslant 1$ 。试求 $\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{2006}} \right|$ 的最小值。数列 $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ 满足 ${{x}_{0}}=0$，$\left| {{x}_{k}} \right|=\left| {{x}_{k-1}}+3 \right|$，$k\geqslant 1$ 。试求 $\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{2006}} \right|$ 的最小值。 2022-04-17 20:48:02
20764 5c75f0a3210b28428f14ccb5 高中 解答题 自招竞赛 凸六边形 $ABCDEF$ 所有边的长度都相等，$\angle A$ 和 $\angle D$ 是直角，其余各角都相等。若六边形的面积是 $2116\left( \sqrt{2}+1 \right)$，求边 $AB$ 的长。 2022-04-17 20:47:02
20763 5c75f0ac210b28428f14ccba 高中 解答题 自招竞赛 已知面积为正的某三角形的三边长分别 ${{\log }_{10}}12$，${{\log }_{10}}75$，${{\log }_{10}}n$，其中 $n$ 为正整数。试求 $n$ 有多少个可能的值？ 2022-04-17 20:47:02
20762 5c75f0b6210b28428f14ccbf 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 是前100个正奇数的乘积，试找出满足 ${{3}^{k}}$ 整除 $p$ 的最大整数 $k$ 。 2022-04-17 20:46:02
20761 5c75f0c1210b28428f14ccc4 高中 解答题 自招竞赛 求满足如下条件的 $\left( 1, 2 ,3 ,\ldots ,12 \right)$ 的排列 $\left( {{a}_{1}}, {{a}_{2}} ,{{a}_{3}}, \ldots, {{a}_{12}} \right)$ 的个数
${{a}_{1}}>{{a}_{2}}>{{a}_{3}}>{{a}_{4}}>{{a}_{5}}>{{a}_{6}}$，${{a}_{6}}<{{a}_{7}}<{{a}_{8}}<{{a}_{9}}<{{a}_{10}}<{{a}_{11}}<{{a}_{12}}$ 。
例如，$\left( 6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \right)$ 就是一个满足上述条件的排列		 2022-04-17 20:46:02
20760 5c75f0cb210b28428f14ccc9 高中 解答题 自招竞赛 一个骰子的六个面分别标有数1，2，3，4，5，6，其中相对的两个面的数字和为7。掷一次此骰子时，出现某个面 $F$ 的概率大于 $\frac{1}{6}$，出现与 $F$ 相对的面的概率小于 $\frac{1}{6}$，出现其余各面的概率均为 $\frac{1}{6}$ 。已知将此骰子连续扔两次，出现两面的数字和为7的概率是 $\frac{47}{288}$ 。设扔一次出现 $F$ 面的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m n$ 为互素的正整数，试求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:45:02
20759 5c75f0d5210b28428f14cccf 高中 解答题 自招竞赛 正方形就 $ABCD$ 的边长为1，点 $E F$ 分别在 $BC CD$ 边上，且 $\vartriangle AEF$ 是等边三角形。另有一小正方形以 $B$ 为顶点，各边分别与 $ABCD$ 的各边平行，且有一顶点在线段 $AE$ 上，若小正方形的边长为 $\frac{a-\sqrt{b}}{c}$，其中 $a b c$ 均为正整数，且 $b$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $a+b+c$ 的值。 2022-04-17 20:45:02
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