无

略

由题$$-(-1)^z\equiv 1\pmod{x+1},$$于是可知 $z$ 为奇数，从而 $x^z+1$ 可分解$$(x+1)(x^{z-1}-x^{z-2}+\cdots+1)=(x+1)^y,$$故$$\mathrm{eq1}: (x+1)^{y-1}=x^{z-1}-x^{z-2}+\cdots+1,$$再对 $(x+1)^y-1$ 分解$$x\left[(x+1)^{y-1}+\cdots+(x+1)+1\right]=x^z,$$因此$$\rm{eq2}:(x+1)^{y-1}+\cdots+(x+1)+1=x^{z-1}.$$由 $z$ 为奇数，$\rm{eq1}$ 知 $x$ 不为奇数，$x$ 为偶数，又由 $\rm{eq2}$ 知 $y$ 为偶数，令 $y=2y_0$，从而$$(x+1)^y-1=\left[(x+1)^{y_0}+1\right]\left[(x+1)^{y_0}-1\right]=x^2.$$其中 $\left[(x+1)^{y_0}+1\right]$ 与 $\left[(x+1)^{y_0}-1\right]$ 的最大公约数为 $2$，于是$$\dfrac{\left[(x+1)^{y_0}+1\right]\left[(x+1)^{y_0}-1\right]}{2^z}=\left(\dfrac x2\right)^z,$$而$$x\mid \left[(x+1)^{y_0}-1\right],$$于是可知$$(x+1)^{y_0}+1\leqslant 2^{z-1},$$进而有$$2^{z-1}>\left(x^z\right)^{\frac12},$$所以$$\sqrt x<2,$$所以$$(x,y,z)=(2,2,3).$$