已知 $y=\ln x-\dfrac 1x$ 与 $y=ax$ 交于两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，求证：$x_1x_2>2{\mathrm e}^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意有 $\ln x_1-\dfrac{1}{x_1}=ax_1$，$\ln x_2-\dfrac{1}{x_2}=ax_2$，两式分别相加、相减可得$$\ln\left(x_1x_2\right)-\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=a\left(x_1+x_2\right),\\\ln\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}=a\left(x_1-x_2\right).$$进而消去 $a$，有$$\ln\left(x_1x_2\right)-2\cdot\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\cdot\ln\dfrac{x_1}{x_2}.$$对于右边，我们熟知对数函数的一个重要放缩\[2\cdot \dfrac{x-1}{x+1}<\ln x<\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right),x>1.\]不妨假设 $\dfrac{x_1}{x_2}>1$，应用于上式，有$$\ln\left(x_1x_2\right)-2\cdot\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}>2.$$对于左边，应用均值不等式，有$$\ln\left(x_1x_2\right)-2\cdot\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}<\ln\left(x_1x_2\right)-\dfrac{4}{\sqrt{x_1x_2}}.$$综合以上两式可得$$\ln\left(x_1x_2\right)-\dfrac{4}{\sqrt{x_1x_2}}>2,$$由于$$\ln\left(2{\mathrm e}^2\right)-\dfrac{4}{\sqrt{2{\mathrm e}^2}}=2+\ln 2-\dfrac{2\sqrt 2}{\mathrm e}<2,$$而函数 $y=\ln x-\dfrac{4}{\sqrt x}$ 为 $\mathbb R^+$ 上的单调递增函数，因此 $x_1x_2>2{\mathrm e}^2$，原命题得证．
答案
解析
备注
