集合 $S$ 满足 $|S|=2018$，整数 $N$ 满足 $0\leqslant N \leqslant 2^{2018}$，求证：可将 $S$ 的子集分成 $A,B$ 两类，满足 $(1)$ 任意两个 $A$ 类子集的并集在 $A$ 类中；$(2)$ 任意两个 $B$ 类子集的并集在 $B$ 类中；$(3)$ 恰有 $N$ 个 $A$ 类子集．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $|S|=n$，采用归纳法，$n=1$ 时，显然 $N=0,2$，$N=1$ 时也显然．
从 $n$ 进至 $n+1$，由对称性不妨 $0\leqslant N\leqslant 2^n$．对于 $S_n$ 有一种染色方式，此时将含 $a_{n+1}$ 全放入 $B$ 类即可．
从 $n$ 进至 $n+1$，由对称性不妨 $0\leqslant N\leqslant 2^n$．对于 $S_n$ 有一种染色方式，此时将含 $a_{n+1}$ 全放入 $B$ 类即可．
答案
解析
备注
