证明：$5^x-3^y=2$ 仅有正整数解 $x=y=1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑 $x>1,y>1$，可知 $9\mid 3^y$，给原式两边模 $9$ 可得 $5^x\equiv 2\pmod 9$，所以$$x\equiv 5\pmod 6,$$且有$$5^x\equiv 3 \pmod 7,$$则 $3^y\equiv 1\pmod 7$，故 $6\mid y$．但模 $4$ 可知 $3^y\equiv -1$，所以 $y$ 为奇数，矛盾．因此原不定方程仅有正整数解 $x=y=z=1$．
答案
解析
备注
