求证：存在无穷多个互不相同的正整数，其中任意多个不同的数之和均存在一个素因子，它的幂次为 $1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
归纳构造，任取 $a_1$ 为一个非幂数的数，设 $a_1,\cdots,a_n$ 已确定，我们选择一个 $a_{n+1}$，设 $S_0,S_1,\cdots,S_m$ 是 $a_1,\cdots,a_n$ 产生的所有和，$m=2^n-1$，$S_0=0$．取不同素数 $p_0,p_1,\cdots,p_n$，素数无穷多．考虑同余式组$$x\equiv -S_i+p_i\pmod {p_i^2},i=0,1,\cdots,m,$$取一个解 $a_{n+1}>a_n$．
答案
解析
备注
