求证：任意 $2p-1$ 个整数中一定存在 $p$ 个数之和被 $p$ 整除，其中 $p$ 为素数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
$a_1,\cdots,a_{2p-1}$ 中若任何 $p$ 个数 $a_{i_1},\cdots,a_{i_p}$ 之和不被 $p$ 整除，则由Fermat小定理$$\left(a_{i_1}+\cdots+a_{i_p}\right)^{p-1}\equiv 1\pmod p.$$于是对所有的 $p$ 元数组求和$$\sum \left(a_{i_1}+\cdots+a_{i_p}\right)^{p-1}\equiv {\rm C}_{2p-1}^p\pmod p,$$而$${\rm C}_{2p-1}^p\equiv \left[\dfrac{2p-1}{p}\right]\equiv 1\pmod p.$$但左边展开式中每一项$$a_{i_1}^{\alpha_1},\cdots a_{i_l}^{\alpha_l},i_1+\cdots+i_l=p-1.$$恰在 ${\rm C}_{2p-1-l}^{p-l}\equiv 0\pmod p$ 个幂展开式中出现，左边被 $p$ 整除，
答案
解析
备注
