任意给定一个 $mn+1$ 项的实数列，求证：其中要么存在 $m+1$ 项的子列不减，要么存在 $n+1$ 项的子列不增，要么两者都有．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设两者都没有，设数列$$x_1,x_2,\cdots,x_{mn+1},$$对任意一项 $x_k$，考虑以它开始的最长不减子列，长度为 $a_k$，最长不增子列，长度为 $b_k$．由假设$$1\leqslant a_k\leqslant m,1\leqslant b_k\leqslant n.$$对 $k=1,2,\cdots,mn+1$，这样的数对 $(a_k,b_k)$ 至多 $mn$ 种取值．故$$\exists l>k,(a_k,b_k)=(a_l,b_l),l\in\mathbb N^\ast.$$但 $x_k\leqslant x_l$ 时有 $a_k>a_l$，$x_k\geqslant x_l$ 时，有 $b_k>b_l$ 矛盾．
答案
解析
备注
