有若干种饮品原料，其中一些是含酒精的，调酒师调制出 $68$ 杯鸡尾酒，每杯中加入了 $5$ 种原料，且至少有一种含酒精，已知对任意 $3$ 种原料，都恰存在一杯鸡尾酒包含了它们，试问：是否一定存在一杯酒中包含了至少 $4$ 种含酒精的原料？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
不存在
【解析】
设饮品原料共有 $n$ 种，对三元组算两次，${\rm C}_{n}^3=68\cdot {\rm C}_{5}^3$，则 $n=17$．
设其中有 $m$ 种含酒精，考虑（含，不含，不含）这样的三元组，有 ${\rm C}_{m}^1\cdot {\rm C}_{17-m}^2$ 个（*）．
假设不存在包含了 $4$ 种含酒精原料的，则任取（含，含，含）这样的三元组，它所在的那杯酒中另两种原料都不含，恰有 $3$ 个（*）中的三元组，对于其它的，其中（*）类三元组的个数为 ${\rm C}_{1}^1\cdot{\rm C}_{4}^2$ 或 ${\rm C}_{2}^1\cdot{\rm C}_{3}^2$，均为 $6$，故（*）类型的三元组个数恰为$$3{\rm C}_{m}^3+6(68-{\rm C}_{m}^3),$$故$$3{\rm C}_{m}^3+6(68-{\rm C}_{m}^3)={\rm C}_{m}^1\cdot{\rm C}_{n-m}^2,n=17.$$整理可得$$m^3-18m^2+137m-408=0,$$对上式左右两端模 $5$，无解．因此不存在一杯酒中包含至少 $4$ 种含酒精的原料．
设其中有 $m$ 种含酒精，考虑（含，不含，不含）这样的三元组，有 ${\rm C}_{m}^1\cdot {\rm C}_{17-m}^2$ 个（*）．
假设不存在包含了 $4$ 种含酒精原料的，则任取（含，含，含）这样的三元组，它所在的那杯酒中另两种原料都不含，恰有 $3$ 个（*）中的三元组，对于其它的，其中（*）类三元组的个数为 ${\rm C}_{1}^1\cdot{\rm C}_{4}^2$ 或 ${\rm C}_{2}^1\cdot{\rm C}_{3}^2$，均为 $6$，故（*）类型的三元组个数恰为$$3{\rm C}_{m}^3+6(68-{\rm C}_{m}^3),$$故$$3{\rm C}_{m}^3+6(68-{\rm C}_{m}^3)={\rm C}_{m}^1\cdot{\rm C}_{n-m}^2,n=17.$$整理可得$$m^3-18m^2+137m-408=0,$$对上式左右两端模 $5$，无解．因此不存在一杯酒中包含至少 $4$ 种含酒精的原料．
答案
解析
备注
