求证：对给定的 $n,n!=u^x-u^y$ 至多有有限多组正整数解 $(u,x,y)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
（关键内容为比较素数幂，即 $v_p(n!)$ 的计算）
由于$$v_p(n!)=\sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{n}{p^l},$$我们取 $p$ 使 $(p,u)=1$，由$$u^x-u^y=u^y(u^{x-y}-1),$$故$$v_p(u^{x-y}-1)=v_p(n!),$$设 $v_p(n!)=\alpha$，$n$ 模 $p^\alpha$ 的阶为 $dp^{\alpha-k_0}$，其中$$p^{k_0}\mid \mid u^d-1,$$$d=\delta_p(u)$，由 $dp^{\alpha-k_0}\mid (x-y)$ 可知$$u^{x-y}-1\geqslant u^{dp^{\frac n{2p}-k_0}}-1.$$由于 $\alpha >\dfrac n{2p}$，故$$u^{x-y}-1\geqslant u^{dp^{\frac n{2p}-k_0}}-1>n^n-1>n!.$$
由于$$v_p(n!)=\sum_{l=1}^{\infty}\dfrac{n}{p^l},$$我们取 $p$ 使 $(p,u)=1$，由$$u^x-u^y=u^y(u^{x-y}-1),$$故$$v_p(u^{x-y}-1)=v_p(n!),$$设 $v_p(n!)=\alpha$，$n$ 模 $p^\alpha$ 的阶为 $dp^{\alpha-k_0}$，其中$$p^{k_0}\mid \mid u^d-1,$$$d=\delta_p(u)$，由 $dp^{\alpha-k_0}\mid (x-y)$ 可知$$u^{x-y}-1\geqslant u^{dp^{\frac n{2p}-k_0}}-1.$$由于 $\alpha >\dfrac n{2p}$，故$$u^{x-y}-1\geqslant u^{dp^{\frac n{2p}-k_0}}-1>n^n-1>n!.$$
答案
解析
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