$\triangle ABC$ 中，$D,E,F$ 分别在边 $BC,CA,AB$ 上，且 $AD,BE,CF$ 共点．设 $\triangle AEB$ 与 $\triangle AFC$ 的外接圆公共弦所在直线为 $l_a$，$\triangle BDA$ 与 $\triangle BFC$ 的外接圆公共弦所在直线为 $l_b$，$\triangle CDA$ 与 $\triangle CEB$ 的外接圆公共弦所在直线为 $l_c$，求证：$l_a,l_b,l_c$ 三线共点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\triangle AEB$ 与 $\triangle AFC$ 的交点为 $A,G$，
我们采用角元塞瓦定理证明共点，先利用 $\triangle AFC$ 外接圆上的正弦定理，得到\[\dfrac{sin\angle FAG}{sin\angle GAC}=\dfrac{FG}{GC}\]而 $\triangle BFG$ 相似于 $\triangle ECG$，故\[\dfrac{FG}{GC}=\dfrac{BF}{EC}\]同时 $AC,BE,CF$ 共点，由塞瓦定理\[\dfrac{AF}{FB}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1\]由对称性即可得到 $l_a,l_b,l_c$ 共点
我们采用角元塞瓦定理证明共点，先利用 $\triangle AFC$ 外接圆上的正弦定理，得到\[\dfrac{sin\angle FAG}{sin\angle GAC}=\dfrac{FG}{GC}\]而 $\triangle BFG$ 相似于 $\triangle ECG$，故\[\dfrac{FG}{GC}=\dfrac{BF}{EC}\]同时 $AC,BE,CF$ 共点，由塞瓦定理\[\dfrac{AF}{FB}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1\]由对称性即可得到 $l_a,l_b,l_c$ 共点
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