正整数数列 $\{x_k\}$ 满足 $x_1=x_2$，$x_{n+2}=x_{n+1}+x_n$，$n\geqslant 1$，求证：对任意正整数 $m$，前 $m^2$ 个项中存在一项被 $m$ 整除．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨考虑 $x_0=0$，则 ${x_n}$ 数列自 $n\geqslant 0$ 始，考虑数对 $(x_{k-1},x_k)$，其中 $k=1,2,\cdots,m^2+1$．在模 $m$ 意义下必有两项同余，即$$1\leqslant k<l \leqslant m^2+1,$$使得 $x_{k-1}\equiv x_{l-1}\pmod{m}$，$x_k\equiv x_l\pmod{m}$ 取使得 $k,l$ 最小的一组，若 $k\geqslant 2$，由于$$x_{k-1}\equiv x_{l-1}\pmod{m},x_k\equiv x_l\pmod{m}$$这导致 $k-1,l-1$ 是更小的一组，矛盾．故 $k=1$，则$$x_0\equiv x_{l-1}\pmod {m},$$而$$1\leqslant l-1 \leqslant m^2,$$故 $m\mid x_{l-1}$ 符合要求．
答案
解析
备注
