已知 $a$ 是不小于 $2$ 的正整数，$m,n$ 是正整数，求证：$(a^m-1,a^n-1)=a^{(m,n)}-1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $(m,n)=d$，由Bezout等式可知存在 $s,t$ 使得$$d=ms-nt,m,n,s,t\in\mathbb N^\ast.$$一方面由 $d\mid m$，$d\mid n$ 可推知 $(a^d-1)\mid (a^m-1)$，$(a^d-1)\mid(a^n-1)$．
另一方面$$(a^d-1)a^{nt}=a^{ms}-a^{nt}=(a^{ms}-1)-(a^{nt}-1),$$由于$$(a^m-1,a^n-1)\mid \left[(a^{ms}-1)-(a^{nt}-1)\right],$$且 $(a^m-1,a^n-1)$ 与 $a$ 互素，故 $(a^m-1,a^n-1)\mid (a^d-1)$．从而$$(a^m-1,a^n-1)\mid(a^d-1).$$
另一方面$$(a^d-1)a^{nt}=a^{ms}-a^{nt}=(a^{ms}-1)-(a^{nt}-1),$$由于$$(a^m-1,a^n-1)\mid \left[(a^{ms}-1)-(a^{nt}-1)\right],$$且 $(a^m-1,a^n-1)$ 与 $a$ 互素，故 $(a^m-1,a^n-1)\mid (a^d-1)$．从而$$(a^m-1,a^n-1)\mid(a^d-1).$$
答案
解析
备注
