已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，求证：$\sqrt 1+\sqrt 2+\sqrt 3+\cdots +\sqrt n$ 是无理数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原问题也即
命题 已知 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是不含平方因子的正整数，则对 $c_1,c_2,\cdots,c_n\in\mathbb Q$，当且仅当 $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$ 时，有 $\displaystyle\sum_{k=1}^nc_k\sqrt{a_k}\in\mathbb Q$．
证明 只证明并不显然的一部分．记 $\alpha_k=\sqrt{a_k}$，采用对 $n$ 的归纳．
当 $n=1$ 时，命题易证．
假设命题对 $1,2,\cdots,n-1$ 均成立，考虑 $n$．记\[S=\sum_{k=1}^nc_k\sqrt{a_k}=\sum_{k=1}^nc_k\alpha_k.\]假设 $S\in \mathbb Q$，令\[\beta=\sqrt{a_1a_2}=\alpha_1\alpha_2,\beta\notin\mathbb Q,\]$\mathbb Q$ 的扩域 $K=\mathbb Q(\beta)$，及 $L=\mathbb Q(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k)$，有\[\mathbb Q\subseteq K\subseteq L,\]由于 $L/K$ 与 $K/\mathbb Q$ 均正规，取 $\varphi:\beta\mapsto -\beta$，即 $K$ 上的共轭映射，于是对 $K$ 上的 $\mathbb Q-$ 自同构 $\varphi$，可将 $\varphi$ 开拓为 $L$ 上的 $\mathbb Q-$ 自同构 $\overline \varphi$，则\[\overline \varphi(\alpha_k)=\pm \alpha_k,k=1,2,\cdots,n.\]记\[\begin{split} I&=\left\{ k\mid \overline \varphi(\alpha_k)=\alpha\right\},\\
J&=\left\{k\mid \overline \varphi (\alpha_k)=-\alpha_k\right\},\end{split}\]则\[I\cup J=\{1,2,\cdots,n\}.\]由于\[\overline\varphi(\alpha_1\alpha_2)=\overline \varphi(\beta)=\varphi(\beta)=-\beta=-\alpha_1\alpha_2,\]可知 $1,2$ 分别在 $I,J$ 中，故 ${\rm Card} (I)<n$，${\rm Card} (J)<n$，而\[\begin{split} \sum_{k\in I}2c_k\alpha_k&=\sum_{k=1}^nc_k\alpha_k+\sum_{k=1}^nc_k\overline\varphi(\alpha_k)=S+\overline\varphi(S),\\
\sum_{k\in J}2c_k\alpha_k&=\sum_{k=1}^nc_k\alpha_k-\sum_{k=1}^nc_k\overline\varphi(\alpha_k)=S-\overline\varphi(S),\end{split}\]由 $S\in Q$ 可知 $\overline \varphi(S)=S$，故\[S+\overline \varphi(S)=2S\in Q,S-\overline\varphi(S)=0\in Q,\]而\[{\rm Card} (I),{\rm Card} (J)<n,\]由归纳假设知 $2c_k=0$，故 $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$．
当 $n=1$ 时，命题易证．
假设命题对 $1,2,\cdots,n-1$ 均成立，考虑 $n$．记\[S=\sum_{k=1}^nc_k\sqrt{a_k}=\sum_{k=1}^nc_k\alpha_k.\]假设 $S\in \mathbb Q$，令\[\beta=\sqrt{a_1a_2}=\alpha_1\alpha_2,\beta\notin\mathbb Q,\]$\mathbb Q$ 的扩域 $K=\mathbb Q(\beta)$，及 $L=\mathbb Q(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k)$，有\[\mathbb Q\subseteq K\subseteq L,\]由于 $L/K$ 与 $K/\mathbb Q$ 均正规，取 $\varphi:\beta\mapsto -\beta$，即 $K$ 上的共轭映射，于是对 $K$ 上的 $\mathbb Q-$ 自同构 $\varphi$，可将 $\varphi$ 开拓为 $L$ 上的 $\mathbb Q-$ 自同构 $\overline \varphi$，则\[\overline \varphi(\alpha_k)=\pm \alpha_k,k=1,2,\cdots,n.\]记\[\begin{split} I&=\left\{ k\mid \overline \varphi(\alpha_k)=\alpha\right\},\\
J&=\left\{k\mid \overline \varphi (\alpha_k)=-\alpha_k\right\},\end{split}\]则\[I\cup J=\{1,2,\cdots,n\}.\]由于\[\overline\varphi(\alpha_1\alpha_2)=\overline \varphi(\beta)=\varphi(\beta)=-\beta=-\alpha_1\alpha_2,\]可知 $1,2$ 分别在 $I,J$ 中，故 ${\rm Card} (I)<n$，${\rm Card} (J)<n$，而\[\begin{split} \sum_{k\in I}2c_k\alpha_k&=\sum_{k=1}^nc_k\alpha_k+\sum_{k=1}^nc_k\overline\varphi(\alpha_k)=S+\overline\varphi(S),\\
\sum_{k\in J}2c_k\alpha_k&=\sum_{k=1}^nc_k\alpha_k-\sum_{k=1}^nc_k\overline\varphi(\alpha_k)=S-\overline\varphi(S),\end{split}\]由 $S\in Q$ 可知 $\overline \varphi(S)=S$，故\[S+\overline \varphi(S)=2S\in Q,S-\overline\varphi(S)=0\in Q,\]而\[{\rm Card} (I),{\rm Card} (J)<n,\]由归纳假设知 $2c_k=0$，故 $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$．
答案
解析
备注
