设正整数 $n_1,\cdots,n_k$ 满足 $n_1\mid \left(2^{n_2}-1\right),\cdots,n_{k-1}\mid \left(2^{n_k}-1\right),n_k\mid\left(2^{n_1}-1\right)$，求证：$n_1=n_2=\cdots=n_k=1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题令 $n=n_1\cdot n_2\cdots n_k$，则$$n\mid (2^n-1),$$由于 $n>1$ 时，不存在 $n\in\mathbb N^\ast$ 使得$$n\mid (2^n-1),$$因此只能 $n=1$．从而$$n_1=n_2=\cdots=n_k=1.$$证毕．
答案
解析
备注
