无

略

任取 $n$ 的素因子 $p$，设 $n=p^{\alpha}\cdot q$，$(q,p)=1$，$\alpha\geqslant 1$．
若 $p\nmid (a-b)$，则由 $p^{\alpha}\mid (a^n-b^n)$ 可知$$p^{\alpha}\mid \dfrac{a^n-b^n}{a-b},$$若 $p\mid (a-b)$，设 $a-b=c$，由 $(a^{p^\alpha}-b^{p^\alpha})\mid (a^n-b^n)$，下证$$ p^{\alpha}\mid \dfrac{a^{p^\alpha}-b^{p^\alpha}}{a-b}.$$由$$a^{p^\alpha}-b^{p^{\alpha}}=(b+c)^{p^{\alpha}}-b^{p^\alpha}=\sum_{i=1}^{p^\alpha}{\rm C}_{p^\alpha}^ib^{p^\alpha-i}c^i$$可知$$\dfrac1c\left(a^{p^\alpha}-b^{p^\alpha}\right)=\sum_{i=0}^{p^{\alpha}-1}{\rm C}_{p^\alpha}^{i+1}b^{p^{\alpha}-i-1}c^i,$$考虑 ${\rm C}_{p^\alpha}^{i+1}\cdot c^i$ 这一项中 $p$ 的幂次．由 ${\rm C}_{p^\alpha}^{i+1}=\dfrac{p^\alpha}{i+1}{\rm C}_{p^\alpha-1}^i$ 可知$$v_p\left({\rm C}_{p^\alpha}^{i+1}\right)\geqslant \alpha-v_p\left(i+1\right),$$而对 $p\geqslant 2$，易知 $i\geqslant v_p(i+1)$，故由 $p\mid c $ 知 $p^\alpha\mid {\rm C}_{p^\alpha}^{i+1}\cdot c^i$．从而 $p^\alpha\mid \dfrac1c \left(a^{p^\alpha}-b^{p^\alpha}\right)$，故$$p^\alpha\mid\dfrac{a^n-b^n}{a-b}.$$