$p$ 为素数，$m\geqslant 1$，若 $a^m\equiv 1\pmod{p}$，$a^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}$，求证：$a^m\equiv 1 \pmod{p^2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $a^m=1+pq$，$q\in\mathbb N$．则$$a^{pm}=(1+pq)^p=1+\sum_{i=1}^p(pq)^i{\rm C}_{p}^i,$$故$$a^{pm}\equiv 1+p^2q\equiv 1\pmod{p^2},$$又由 $a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}$ 可知$$a^{(p-1)m}\equiv 1\pmod{p^2},$$故$$a^m\equiv 1\pmod{p^2}.$$
答案
解析
备注
