设 $\varphi$ 是 $X\mapsto X$ 的一个一一映射，其中 $X=\{1,2,\cdots,n\}$，无不动点的 $\varphi$ 有 $f_n$ 个，恰有一个不动点的 $\varphi$ 有 $g_n$ 个，求证：$|f_n-g_n|=1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
利用伯努利装错信笺问题的结论，设 $D_n=n!(1-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\cdots +(-1)^n \dfrac{1}{n!})$，
则 $f_n=D_n$，$g_n=nD_{n-1}$（因为这个唯一的不动点有 $n$ 种选取方式）
于是 $|f_n-g_n|=|D_n-nD_{n-1}|=|n!\cdot\dfrac{(-1)^n}{n!}|=1$
则 $f_n=D_n$，$g_n=nD_{n-1}$（因为这个唯一的不动点有 $n$ 种选取方式）
于是 $|f_n-g_n|=|D_n-nD_{n-1}|=|n!\cdot\dfrac{(-1)^n}{n!}|=1$
答案
解析
备注
