圆周上有 $n$ 个点，每两个点连一条线段，这些线段中任意三条在圆内部不共点，试求由这些线段围出的三角形个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
${\rm C}_ n^6+5{\rm C}_ n^5+6{\rm C}_ n^4+{\rm C}_ n^3$
【解析】
我们将围出来的三角形分成以下四类：
情形一，三个顶点均在圆周上，这样的有 ${\rm C}_ n^3$ 个
情形二，有两个顶点在圆周上，圆周上任取4个点对应4个这类三角形，共 $4{\rm C}_ n^4$ 个
情形三，有一个顶点在圆周上，圆周上任取5个点产生5个这类三角形，共 $5{\rm C}_ n^5$ 个
情形四，所有顶点均在圆内部，各边所在直线与圆周交于6个点，与这样的三角形一一对应，共 ${\rm C}_ n^6$ 个
情形一，三个顶点均在圆周上，这样的有 ${\rm C}_ n^3$ 个情形二，有两个顶点在圆周上，圆周上任取4个点对应4个这类三角形，共 $4{\rm C}_ n^4$ 个
情形三，有一个顶点在圆周上，圆周上任取5个点产生5个这类三角形，共 $5{\rm C}_ n^5$ 个
情形四，所有顶点均在圆内部，各边所在直线与圆周交于6个点，与这样的三角形一一对应，共 ${\rm C}_ n^6$ 个
答案
解析
备注
