求证：任意三个连续正整数之积不是某个正整数的幂．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设$$\exists x,y,k\in\mathbb N^\ast,y^k=(x-1)x(x+1),x,k\geqslant 2.$$而 $x$ 与 $(x^2-1)$ 互素，故存在 $a,b\in\mathbb N^\ast$，使得$$x=a^k,x,x^2-1=b^k,$$其中 $ab=y$，于是可知$$a^{2k}-b^k=1,$$又$$a^{2k}-b^k=(a^2-b)(a^{2k-2}+\cdots+b^{k-1})>1,$$存在矛盾．于是原假设不成立，命题得证．
答案
解析
备注
