$n$ 名学生参加了一场考试，考场中恰有 $n$ 个考位，主管教师由于疏忽遗失了已经排好的座位表，只能让大家随意入座，试求满足下述要求的入座方法个数：每个学生的位置都与座位表上他的位置不同．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$n!(1-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\cdots +(-1)^n \dfrac{1}{n!})$
【解析】
用容斥原理，记 $A_i$ 为第 $i$ 名学生正确入座的方法集合，则 $|A_i|=(n-1)!$，$|A_i\cap A_j|=(n-2)!$，$\cdots$，$|A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n|=0!=1$
故 $|\bar{A_1}\cap \bar{A_2}\cap \cdots \cap\bar{A_n}|=n!-{\rm C}_ n^1(n-1)!+{\rm C}_ n^2(n-2)!-\cdots+(-1)^n{\rm C}_ n^n0!$，整理即为 $n!(1-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\cdots +(-1)^n \dfrac{1}{n!})$
故 $|\bar{A_1}\cap \bar{A_2}\cap \cdots \cap\bar{A_n}|=n!-{\rm C}_ n^1(n-1)!+{\rm C}_ n^2(n-2)!-\cdots+(-1)^n{\rm C}_ n^n0!$，整理即为 $n!(1-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\cdots +(-1)^n \dfrac{1}{n!})$
答案
解析
备注
