对正整数 $n$，考察使 $n\mid \displaystyle \sum_{k=1}^m k$ 的最小正整数 $m$，记为 $f(n)$，求证：$f(n)=2n-1$，当且仅当 $n=2^t$（$t\in\mathbb N$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $n=2^t$ 时，一方面，取 $m=2n-1$ 则$$\sum_{k=1}^{m}k=2^t\cdot(2^{t+1}-1).$$此时$$n\mid \sum_{k=1}^mk,$$另一方面$$\sum_{k=1}^mk=\dfrac{m(m+1)}{2}$$当 $m<2n-1$ 时，$m,m+1$ 一奇一偶，而$$m<m+1<2^{t+1},$$故 $\dfrac12m(m+1)$ 中 $2$ 的幂次小于 $t$，从而 $n\nmid \sum_{k=1}^mk$．
当 $n\neq 2^t$ 时，令 $n=2^r\cdot A$，$r\geqslant 0$，$A$ 为奇数，$(A,2)=1$，由于 $\sum_{k=1}^mk$，取 $m$ 满足同余方程组$$\begin{cases} m\equiv 0 \pmod {2^{r+1}} ,\\
m\equiv -1\pmod A,\end{cases}$$由于 $2$ 与 $A$ 互素，用中国剩余定理知可使$$m\leqslant 2^m\cdot A=2n.$$由 $m\equiv -1\pmod{A}$ 知 $m\neq 2n$，由 $2^{n+1}\mid m$ 知 $m\neq 2n-1$，故$$m<2n-1.$$
答案
解析
备注
