已知 $p$ 与 $p+2$ 均为素数，$p>3$，正整数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=2$，$a_n=a_{n-1}+\Big\lceil\dfrac{pa_{n-1}}{n}\Big\rceil$，其中 $\lceil x\rceil$ 代表不小于 $x$ 的最小整数．求证：$n\mid (pa_{n-1}+1)$ 对满足 $2<n<p$ 的正整数 $n$ 都成立．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
采用归纳法，$n=3$ 时，往证 $3\mid (p+1)^2$，由 $p,p+2$ 为素数，且 $p>3$ 即知．而$$a_n=a_{n-1}+\left[\dfrac{pa_{n-1}}{n}\right]=a_{n-1}+\dfrac{pa_{n-1}+1}{n},$$则$$pa_n+1=\dfrac{n+p}{n}(pa_{n-1}+1)=\cdots=(pa_2+1)\cdot\prod_{k=3}^n\dfrac{k+p}{k}.$$故$$pa_n+1=\dfrac{2(p+1)}{p+2}\mathrm{C}_{p+n}^n=\dfrac{2(p+1)(n+1)}{(p+n+1)(p+2)}\mathrm{C}_{n+p+1}^{n+1},$$而$$(n+1,p+n+1)=(n+1,p+2)=1,$$又由于 $n+1<p$ 可得$$(n+1)\mid (pa_n+1).$$
答案
解析
备注
