设 $p$ 为奇素数，求证：$\dfrac{p^{2p}+1}{p^2+1}$ 的任一个约数模 $4p$ 余 $1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
任取 $\dfrac{p^{2p}+1}{p^2+1}$ 的某个素因子 $q$，$(q,p)=1$，设 $p$ 模 $q$ 的阶为 $r$，则由$$p^{2p}+1\equiv 0\pmod q$$可知 $r\mid 4p$ 且 $r\nmid 2p$，故 $r=4$ 或 $4p$．
若 $r=4$，则由 $p^4\equiv 1\pmod q$ 可知 $p^2\equiv -1\pmod q$，而$$\left(1-p^2+p^4-\cdots+p^{2(p-1)}\right)\equiv p\pmod q$$与假设条件矛盾，因此 $r=4p$，而$$p^{q-1}\equiv 1\pmod q,$$故 $r\mid (q-1)$，所以$$q\equiv 1\pmod{4p}.$$
若 $r=4$，则由 $p^4\equiv 1\pmod q$ 可知 $p^2\equiv -1\pmod q$，而$$\left(1-p^2+p^4-\cdots+p^{2(p-1)}\right)\equiv p\pmod q$$与假设条件矛盾，因此 $r=4p$，而$$p^{q-1}\equiv 1\pmod q,$$故 $r\mid (q-1)$，所以$$q\equiv 1\pmod{4p}.$$
答案
解析
备注
