在相邻两个完全平方数之间任取若干个不同的整数，求证：它们之中两两乘积各不相同．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $a,b,c,d$ 为 $n^2$ 与 $(n+1)^2$ 之间的四个互不相同的整数，设$$ab=cd,$$则$$\exists x,y,z,w\in\mathbb N^\ast,(a,b,c,d)=(xy,zw,xz,yw).$$不妨令$$a<c<d<b,$$则 $y<z,x<w$，且 $xy>n^2$，于是$$\begin{split} zw&\geqslant (y+1)(x+1)\\
&=xy+1+x+y\\
&\geqslant xy+1+2\sqrt{xy}\\
&>(n+1)^2.\end{split}$$
&=xy+1+x+y\\
&\geqslant xy+1+2\sqrt{xy}\\
&>(n+1)^2.\end{split}$$
答案
解析
备注
