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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
22778 59e44c88d474c0000788b5d4 高中 解答题 高中习题 设 $f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0).$
$(1)$ 若 $|f(0)|\leqslant 1,$ $|f(1)|\leqslant 1,$ $|f(-1)|\leqslant 1,$ 试证明：对于任意 $|x|\leqslant 1,$ 有 $|f(x)|\leqslant \dfrac54;$
$(2)$ 若 $|f(x)|\leqslant 1,$ 求证：当 $|x|\leqslant 1$ 时，$|2ax+b|\leqslant 4.$		 2022-04-17 20:30:21
22777 59e4a28fd474c0000788b6d8 高中 解答题 高中习题 设函数 $f(x)=ax+b(a,b\in\mathbb R),$ $g(x)=x^2+c,c<0.$
$(1)$ 请用 $f(0)$ 和 $f(1)$ 表示出 $a,b$；
$(2)$ 若对任意的 $x\in[0,1],$ 都有 $0\leqslant f(x)\leqslant 1,$ 求 $ab$ 的最大值；
$(3)$ 已知 $a=1,$ $b$ 和 $c$ 是闭区间 $I$ 的两个端点．若对任意的 $x\in I,$ 都有 $f(x)g(x)\geqslant 0.$ 求 $|b-c|$ 的最大值．		 2022-04-17 20:29:21
22776 59e56438d474c0000885552d 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=(x-4)m^{x+1},$ 其中 $m$ 为常数，$m>0$ 且 $m\neq1.$
$(1)$ 不论 $m$ 如何变化，$f(x)$ 的图像都经过一个定点，求出该定点坐标；
$(2)$ 是否存在 $m,$ 使得 $f(x)<f(x+1)$ 在 $x\geqslant 1$ 时恒成立？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．		 2022-04-17 20:28:21
22775 59e5a314d474c00008855551 高中 解答题 高中习题 对于两个定义域相同的函数 $f(x),g(x),$ 若存在实数 $m,n,$ 使得 $h(x)=mf(x)+ng(x),$ 则称函数 $h(x)$ 是由"基函数 $f(x),g(x)$ "生成的．
$(1)$ 若 $f(x)=x^2+3x$ 和 $g(x)=3x+4$ 生成一个偶函数 $h(x),$ 求 $h(2)$ 的值；
$(2)$ 若 $h(x)=2x^2+3x-1$ 是由 $f(x)=x^2+ax$ 和 $g(x)=x+b$ 生成，其中 $a,b\in\mathbb R$ 且 $ab\neq 0,$ 求 $\dfrac ab$ 的取值范围；
$(3)$ 利用"基函数 $f(x)=\log_4(4^x+1),g(x)=x-1$ "生成一个函数 $h(x),$ 使得 $h(x)$ 是偶函数且有最小值 $1,$ 求 $h(x)$ 的解析式．		 2022-04-17 20:27:21
22774 595c62c9866eeb000a035606 高中 解答题 高中习题 若对任意锐角 $x$，均有 $\sin x+\tan x-2x>mx^2$，求实数 $m$ 的取值范围． 2022-04-17 20:27:21
22773 5952067639416c0008d54c8d 高中 解答题 高中习题 求函数 $y=\dfrac{x^3-x}{x^4+2x^2+1}$ 的值域． 2022-04-17 20:26:21
22772 59b7c425c527ed00086d438b 高中 解答题 高中习题 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $\dfrac{a^2}{1+a^2}+\dfrac{b^2}{1+b^2}+\dfrac{c^2}{1+c^2}=1$，求证：$abc\leqslant\dfrac{\sqrt2 }{4}$． 2022-04-17 20:26:21
22771 59b7e449c527ed00086d43a3 高中 解答题 高中习题 求证：$10000.4\ln\left(1+\dfrac{1}{10000}\right)<1< 1000.5\ln\left(1+\dfrac{1}{1000}\right)$． 2022-04-17 20:25:21
22770 59b89a23c527ed00086d43d7 高中 解答题 高中习题 求使得 $\sqrt{k^2-2004k}$ 是正整数的正整数 $k$ 的个数． 2022-04-17 20:24:21
22769 59e02a7b68c9e3000dc62cd7 高中 解答题 高中习题 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=3$，求证：$ab^2c^3<\dfrac43.$ 2022-04-17 20:23:21
22768 59ba49e298483e000a5244f7 高中 解答题 高中习题 已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA\perp OB$，求证：$O$ 到直线 $AB$ 的距离为定值． 2022-04-17 20:23:21
22767 59e851c3c3f07000082a3810 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ 满足：
① $f(m+n)=f(m)+f(n)-1$；
② 当 $x>0$ 时，$f(x)>1$．
解答以下问题：		 2022-04-17 20:23:21
22766 59e851c3c3f07000082a380e 高中 解答题 自招竞赛 在 $AB=6$，$AD=4$ 的矩形纸片 $ABCD$ 中剪去圆 $M$ 与圆 $M'$，其中圆 $M$ 与 $AB,AD$ 相切，圆 $M'$ 与 $BC,CD$ 相切，且圆 $M$ 与圆 $M'$ 外切，则剩余部分的面积是否有最大值与最小值？若有，求出最值；若没有，请说明理由． 2022-04-17 20:22:21
22765 59e851c3c3f07000082a380c 高中 解答题 自招竞赛 求数列 $1,3+7,13+21+31,43+57+73+91,\cdots$ 的第 $21$ 项中的第 $12$ 个数． 2022-04-17 20:22:21
22764 59e86d4fc3f07000082a39d8 高中 解答题 自招竞赛 解不等式 ${\log_a}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+{\log_a}\left(\sqrt{x^2-2x+10}+x-1\right)\geqslant{\log_a}3$，其中 $a\geqslant0$ 且 $a\ne1$． 2022-04-17 20:21:21
22763 59e86d4fc3f07000082a39dc 高中 解答题 自招竞赛 椭圆 $C:x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$，在第一象限内的一段弧即为 $AB$，点 $P(x,y)$ 在弧 $AB$ 上，如图． 2022-04-17 20:20:21
22762 59e86d4fc3f07000082a39da 高中 解答题 自招竞赛 已知正三棱锥底面的一个顶点与它所在的侧面的重心的距离为 $4$，求此正三棱锥的体积的最大值． 2022-04-17 20:19:21
22761 59e88284c3f07000082a3a51 高中 解答题 自招竞赛 已知正实数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求证：$\sqrt{a^2+\dfrac 1a}+\sqrt{b^2+\dfrac 1b}\geqslant 3$． 2022-04-17 20:19:21
22760 59e88867c3f07000093ae4f9 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b$ 均为正实数，求证：$\dfrac{b^2+2}{a+b}+\dfrac{a^2}{ab+1}\geqslant 2$． 2022-04-17 20:19:21
22759 59116c88e020e7000a798863 高中 解答题 高中习题 利用欧拉公式（多面体的顶点数 $V$，面数 $F$，棱数 $E$ 满足 $V+F-E=2$）推导： 2022-04-17 20:18:21
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