设 $f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0).$
$(1)$ 若 $|f(0)|\leqslant 1,$ $|f(1)|\leqslant 1,$ $|f(-1)|\leqslant 1,$ 试证明：对于任意 $|x|\leqslant 1,$ 有 $|f(x)|\leqslant \dfrac54;$
$(2)$ 若 $|f(x)|\leqslant 1,$ 求证：当 $|x|\leqslant 1$ 时，$|2ax+b|\leqslant 4.$
$(1)$ 若 $|f(0)|\leqslant 1,$ $|f(1)|\leqslant 1,$ $|f(-1)|\leqslant 1,$ 试证明：对于任意 $|x|\leqslant 1,$ 有 $|f(x)|\leqslant \dfrac54;$
$(2)$ 若 $|f(x)|\leqslant 1,$ 求证：当 $|x|\leqslant 1$ 时，$|2ax+b|\leqslant 4.$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
$(1)$ 由题有$$\begin{cases} f(0)=c,\\f(1)=a+b+c,\\f(-1)=a-b+c.\end{cases}$$于是$$\mathrm{eq1:}\begin{cases} a=\dfrac12[f(1)+f(-1)-2f(0)],\\b=\dfrac12[f(1)-f(-1)],\\c=f(0). \end{cases}$$所以$$\begin{split}|f(x)|&=|ax^2+bx+c|\\&=\bigg|\dfrac12[f(1)+f(-1)-2f(0)]x^2+\dfrac12[f(1)-f(-1)]x+f(0)\bigg|\\
&=\bigg|\dfrac12(x^2+x)f(1)+\dfrac12(x^2-x)f(-1)+(1-x^2)f(0)\bigg|\\&\leqslant \dfrac12|x^2+x|+\dfrac12|x^2-x|+|1-x^2|,\end{split}$$记 $g(x)=\dfrac12|x^2+x|+\dfrac12|x^2-x|+|1-x^2|,|x|\leqslant 1.$ 由于 $g(x)$ 是关于 $x$ 的偶函数，因此仅需考虑 $0\leqslant x\leqslant 1$ 的情形，此时有$$g(x)=x+1-x^2\leqslant \dfrac54,$$至此原命题得证．
$(2)$ 同第 $(1)$ 题，我们仍有 $\mathrm{eq1}$，那么$$\begin{split}|2ax+b|&=\bigg|[f(1)+f(-1)-2f(0)]x+\dfrac12[f(1)-f(-1)]\bigg|\\&=\bigg|(x+\dfrac12)f(1)+(x-\dfrac12)f(-1)-2xf(0)\bigg|\\
&\leqslant|x+\dfrac12|+|x-\dfrac12|+|2x|,\end{split}$$记 $h(x)=|x+\dfrac12|+|x-\dfrac12|+|2x|,|x|\leqslant 1.$ 由于 $h(x)$ 是关于 $x$ 的偶函数，因此仅需考虑 $0\leqslant x\leqslant 1$ 的情形，此时有$$h(x)=\begin{cases} 2x+1,&0\leqslant x\leqslant\dfrac12,\\
4x, &\dfrac12< x\leqslant 1.\end{cases}$$所以 $g(x)\leqslant 4$，即有 $|2ax+b|\leqslant 4,$ 证毕．
&=\bigg|\dfrac12(x^2+x)f(1)+\dfrac12(x^2-x)f(-1)+(1-x^2)f(0)\bigg|\\&\leqslant \dfrac12|x^2+x|+\dfrac12|x^2-x|+|1-x^2|,\end{split}$$记 $g(x)=\dfrac12|x^2+x|+\dfrac12|x^2-x|+|1-x^2|,|x|\leqslant 1.$ 由于 $g(x)$ 是关于 $x$ 的偶函数，因此仅需考虑 $0\leqslant x\leqslant 1$ 的情形，此时有$$g(x)=x+1-x^2\leqslant \dfrac54,$$至此原命题得证．
$(2)$ 同第 $(1)$ 题，我们仍有 $\mathrm{eq1}$，那么$$\begin{split}|2ax+b|&=\bigg|[f(1)+f(-1)-2f(0)]x+\dfrac12[f(1)-f(-1)]\bigg|\\&=\bigg|(x+\dfrac12)f(1)+(x-\dfrac12)f(-1)-2xf(0)\bigg|\\
&\leqslant|x+\dfrac12|+|x-\dfrac12|+|2x|,\end{split}$$记 $h(x)=|x+\dfrac12|+|x-\dfrac12|+|2x|,|x|\leqslant 1.$ 由于 $h(x)$ 是关于 $x$ 的偶函数，因此仅需考虑 $0\leqslant x\leqslant 1$ 的情形，此时有$$h(x)=\begin{cases} 2x+1,&0\leqslant x\leqslant\dfrac12,\\
4x, &\dfrac12< x\leqslant 1.\end{cases}$$所以 $g(x)\leqslant 4$，即有 $|2ax+b|\leqslant 4,$ 证毕．
答案
解析
备注
