已知 $f(x)=(x-4)m^{x+1},$ 其中 $m$ 为常数，$m>0$ 且 $m\neq1.$
$(1)$ 不论 $m$ 如何变化，$f(x)$ 的图像都经过一个定点，求出该定点坐标；
$(2)$ 是否存在 $m,$ 使得 $f(x)<f(x+1)$ 在 $x\geqslant 1$ 时恒成立？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．
$(1)$ 不论 $m$ 如何变化，$f(x)$ 的图像都经过一个定点，求出该定点坐标；
$(2)$ 是否存在 $m,$ 使得 $f(x)<f(x+1)$ 在 $x\geqslant 1$ 时恒成立？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
$(1)$ 若要使得该定点坐标与 $m$ 无关，只需给 $x$ 赋值，使得函数表达式中与 $m$ 有关的部分为常数即可，因此该定点为 $(-1,-5).$
$(2)$ 由题$$f(x+1)-f(x)>0,x\geqslant 1,$$即$$(x-3)m^{x+2}-(x-4)m^{x+1}>0,$$又即$$g(x)=(m-1)x+4-3m>0,$$显然应 $m\geqslant 1$，故只需 $g(1)=3-2m>0.$
综上，存在 $m$ 使得 $f(x)<f(x+1)$ 在 $x\geqslant 1$ 时恒成立，且 $m$ 的取值范围为 $[1,\dfrac32).$
$(2)$ 由题$$f(x+1)-f(x)>0,x\geqslant 1,$$即$$(x-3)m^{x+2}-(x-4)m^{x+1}>0,$$又即$$g(x)=(m-1)x+4-3m>0,$$显然应 $m\geqslant 1$，故只需 $g(1)=3-2m>0.$
综上，存在 $m$ 使得 $f(x)<f(x+1)$ 在 $x\geqslant 1$ 时恒成立，且 $m$ 的取值范围为 $[1,\dfrac32).$
答案
解析
备注
