利用欧拉公式（多面体的顶点数 $V$，面数 $F$，棱数 $E$ 满足 $V+F-E=2$）推导：
【难度】
【出处】
无
【标注】
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正多面体不超过 $5$ 种；标注答案略解析假设正多面体的每个面都是正 $n$ 边形，且每个顶点出发的棱数为 $m$，那么$$2E=nF=mV,$$于是$$V=\dfrac{2E}m,F=\dfrac{2E}n,$$代入欧拉公式，有$$\dfrac{2E}m+\dfrac{2E}n-E=2,$$也即$$\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac 12+\dfrac 1E,$$因此$$\dfrac 1m+\dfrac 1n>\dfrac 12.$$结合 $m,n\geqslant 3$ 可知 $m,n$ 至少有一个是 $3$，因此所有可能的正整数解 $(m,n)$ 为$$(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3),$$共 $5$ 组，因此正多面体不超过 $5$ 种．
事实上，这五种正多面体都可以作出，分别为正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体． -
足球由 $12$ 个正五边形和 $20$ 个正六边形构成．
标注答案略解析假设足球由 $x$ 个正五边形（黑色）和 $y$ 个正六边形构成，那么$$V=5x,F=x+y,E=5x+\dfrac 32y,$$代入欧拉公式并化简可得$$2x-y=4.$$另一方面，考虑所有正五边形的边数之和，有 $5x=3y$．从而根据两个方程可以解得$$x=12,y=20,$$因此命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
