已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA\perp OB$，求证：$O$ 到直线 $AB$ 的距离为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
定值为 $\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$
【解析】
设 $A\left(\theta:r_1\right)$，$B\left(\theta+\dfrac{\pi}2:r_2\right)$，则有\[\begin{aligned}
\dfrac{r_1^2\cos^2\theta}{a^2}+\dfrac{r_1^2\sin^2\theta}{b^2}&=1,\\
\dfrac{r_2^2\cos^2\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)}{a^2}+\dfrac{r_2^2\sin^2\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)}{b^2}&=1,
\end{aligned}\]于是 $O$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$ 满足\[\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\]为定值，因此原命题得证．
\dfrac{r_1^2\cos^2\theta}{a^2}+\dfrac{r_1^2\sin^2\theta}{b^2}&=1,\\
\dfrac{r_2^2\cos^2\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)}{a^2}+\dfrac{r_2^2\sin^2\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)}{b^2}&=1,
\end{aligned}\]于是 $O$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$ 满足\[\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\]为定值，因此原命题得证．
答案
解析
备注
