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求证：$10000.4\ln\left(1+\dfrac{1}{10000}\right)<1< 1000.5\ln\left(1+\dfrac{1}{1000}\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    比大小
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数问题中的技巧
    >
    进阶放缩
【答案】
略
【解析】
考虑证明
引理当 $0<x<\dfrac 12$ 时，有$$\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{5}\right)\ln(1+x)<1<\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right)\ln(1+x).$$然后分别将 $x=\dfrac{1}{10000}$ 代入上述不等式左边，将 $x=\dfrac{1}{1000}$ 代入上述不等式右边即得题中不等式．
引理的证明也即证明当 $0<x<\dfrac 12$ 时，有\[\dfrac{2x}{x+2}<\ln(1+x)<\dfrac{5x}{2x+5},\]左侧是我们熟知的不等式，而当 $0<x<\dfrac 12$ 时，有\[\ln(1+x)<\dfrac 12\left(1+x-\dfrac{1}{1+x}\right)=\dfrac{x^2+2x}{2x+2}<\dfrac{5x}{2x+5},\]因此原命题得证．
答案 解析 备注
0.113121s