若对任意锐角 $x$，均有 $\sin x+\tan x-2x>mx^2$，求实数 $m$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,0]$
【解析】
考虑函数 $f(x)=\sin x+\tan x-2x-mx^2$，则其导函数\[f'(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2-2mx,\]其二阶导函数\[f''(x)=-\sin x+\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}-2m,\]因此 $f(0)=f'(0)=0$，$f''(0)=-2m$，得到 $m$ 的讨论分界点为 $0$．
情形一 $m\leqslant 0$，此时$$f(x)\geqslant \sin x+\tan x-2x.$$设右侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2> \cos x+\dfrac{1}{\cos x}- 2>0,\]当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 时，$\varphi(x)$ 单调递增，因此$$\varphi(x)>\varphi(0)=0,$$符合题意．
情形二 $m>0$，此时$$f''(0)=-2m<0.$$当 $0<x\leqslant \dfrac{\pi}3$ 时，有\[f''(x)<15\sin x-2m<15x-2m,\]因此取 $x_0=\min\left\{\dfrac{\pi}3,\dfrac{2m}{15}\right\}$，则在区间 $(0,x_0)$ 上，有 $f''(x)<0 $，进而结合 $ f'(0)=0 $ 可得 $ f'(x)<0 $，进而结合 $ f(0)=0 $ 可得 $ f(x)<0 $，不符合题意．
综上所述，实数 $ m $ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．
综上所述，实数 $ m $ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．
答案
解析
备注
