求函数 $y=\dfrac{x^3-x}{x^4+2x^2+1}$ 的值域．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$
【解析】
当 $x=0$ 或 $x=\pm 1$ 时，$y=0$．
当 $x\ne 0$ 且 $x\ne \pm 1$ 时，有$$y=\dfrac{x-\dfrac 1x}{x^2+\dfrac 1{x^2}+2}=\dfrac{x-\dfrac 1x}{\left(x-\dfrac 1x\right)^2+4}=\dfrac{1}{\left(x-\dfrac 1x\right)+\dfrac{4}{x-\dfrac 1x}},$$由于 $x-\dfrac 1x$ 的取值范围是 $\mathbb R$，于是$$\dfrac 1y \geqslant 4\lor \dfrac 1y\leqslant -4,$$即$$0<y\leqslant \dfrac 14\lor -\dfrac 14\leqslant y<0.$$综上，所求函数的值域为 $\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$．
当 $x\ne 0$ 且 $x\ne \pm 1$ 时，有$$y=\dfrac{x-\dfrac 1x}{x^2+\dfrac 1{x^2}+2}=\dfrac{x-\dfrac 1x}{\left(x-\dfrac 1x\right)^2+4}=\dfrac{1}{\left(x-\dfrac 1x\right)+\dfrac{4}{x-\dfrac 1x}},$$由于 $x-\dfrac 1x$ 的取值范围是 $\mathbb R$，于是$$\dfrac 1y \geqslant 4\lor \dfrac 1y\leqslant -4,$$即$$0<y\leqslant \dfrac 14\lor -\dfrac 14\leqslant y<0.$$综上，所求函数的值域为 $\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$．
答案
解析
备注
