查看数据源：59e86d4fc3f07000082a39d8
解不等式 ${\log_a}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+{\log_a}\left(\sqrt{x^2-2x+10}+x-1\right)\geqslant{\log_a}3$，其中 $a\geqslant0$ 且 $a\ne1$．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
当 $a>1$ 时，不等式的解集为 $\left\{x \left| x\geqslant\dfrac14\right.\right\}$；当 $0<a<1$ 时，不等式的解集为 $\left\{x \left| x\leqslant\dfrac14\right.\right\}$
【解析】
情形一 当 $a>1$ 时，题中不等式等价于$$\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{(x-1)^2+9}+x-1\right)\geqslant3,$$两边同乘以 $\sqrt{x^2+1}-x$，并整理得$$\sqrt{\left(\dfrac{x-1}{3}\right)^2+1}+\dfrac{x-1}{3}\geqslant\sqrt{x^2+1}-x,$$构造函数 $g(x)=\sqrt{x^2+1}+x$，求导得$$f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}>0,$$因此函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上增函数，题意即$$\dfrac{x-1}{3}\geqslant-x,$$解得 $x\geqslant\dfrac14$；
情形二 当 $0<a<1$ 时，类似地可解得 $x\leqslant\dfrac14$；
综上可知，当 $a>1$ 时，不等式的解集为 $\left\{x \left| x\geqslant\dfrac14\right.\right\}$；当 $0<a<1$ 时，不等式的解集为 $\left\{x \left| x\leqslant\dfrac14\right.\right\}$．
答案 解析 备注
0.111767s