设函数 $f(x)=ax+b(a,b\in\mathbb R),$ $g(x)=x^2+c,c<0.$
$(1)$ 请用 $f(0)$ 和 $f(1)$ 表示出 $a,b$；
$(2)$ 若对任意的 $x\in[0,1],$ 都有 $0\leqslant f(x)\leqslant 1,$ 求 $ab$ 的最大值；
$(3)$ 已知 $a=1,$ $b$ 和 $c$ 是闭区间 $I$ 的两个端点．若对任意的 $x\in I,$ 都有 $f(x)g(x)\geqslant 0.$ 求 $|b-c|$ 的最大值．
$(1)$ 请用 $f(0)$ 和 $f(1)$ 表示出 $a,b$；
$(2)$ 若对任意的 $x\in[0,1],$ 都有 $0\leqslant f(x)\leqslant 1,$ 求 $ab$ 的最大值；
$(3)$ 已知 $a=1,$ $b$ 和 $c$ 是闭区间 $I$ 的两个端点．若对任意的 $x\in I,$ 都有 $f(x)g(x)\geqslant 0.$ 求 $|b-c|$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(2)$ $1$
$(3)$ $1$
$(3)$ $1$
【解析】
$(1)$ $(a,b)=(f(1)-f(0),f(0));$
$(2)$ 由题有$$ab=f(0)\cdot[f(1)-f(0)]\leqslant\dfrac14\cdot f^2(1)\leqslant\dfrac14,$$当且仅当 $(f(1),f(0))=(1,\dfrac12),$ 即 $a=b=\dfrac12$ 时 $ab$ 取得最大值．
$(3)$ 由题 $f(x)=x+b$，且 $g(x)=x^2+c$ 在 $\mathbb R$ 上的正负情况如下表所示：$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline
x&(-\infty,-\sqrt{-c})&-\sqrt{-c}&(-\sqrt{-c},\sqrt{-c})&\sqrt{-c}&(\sqrt{-c},+\infty)
\\\hline g(x)&+&0&-&0&+\\\hline
\end{array}$$由 $f(x)g(x)\geqslant 0,$ 可知有如下两种情况．
情形一 若 $f(x)\geqslant 0\wedge g(x)\geqslant 0,$ 则有$$\begin{cases} f(c)=b+c\geqslant 0,\\f(b)=2b\geqslant 0,\\
b,c\leqslant-\sqrt{-c}<0.
\end{cases}$$第二个不等式与第三个不等式自相矛盾，因此该种情形不成立，舍去．
情形二 若 $f(x)\leqslant 0\wedge g(x)\leqslant 0,$ 则有$$\begin{cases} f(c)=b+c\leqslant 0,\\ f(b)=2b\leqslant 0,\\-\sqrt{-c}\leqslant c<0 \end{cases}$$此种情况下当且仅当 $c=-1\wedge b=0$ 时，$|b-c|_\mathrm{max}=1.$
综上所述，$|b-c|_\mathrm{max}=1.$
$(2)$ 由题有$$ab=f(0)\cdot[f(1)-f(0)]\leqslant\dfrac14\cdot f^2(1)\leqslant\dfrac14,$$当且仅当 $(f(1),f(0))=(1,\dfrac12),$ 即 $a=b=\dfrac12$ 时 $ab$ 取得最大值．
$(3)$ 由题 $f(x)=x+b$，且 $g(x)=x^2+c$ 在 $\mathbb R$ 上的正负情况如下表所示：$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline
x&(-\infty,-\sqrt{-c})&-\sqrt{-c}&(-\sqrt{-c},\sqrt{-c})&\sqrt{-c}&(\sqrt{-c},+\infty)
\\\hline g(x)&+&0&-&0&+\\\hline
\end{array}$$由 $f(x)g(x)\geqslant 0,$ 可知有如下两种情况．
b,c\leqslant-\sqrt{-c}<0.
\end{cases}$$第二个不等式与第三个不等式自相矛盾，因此该种情形不成立，舍去．
综上所述，$|b-c|_\mathrm{max}=1.$
答案
解析
备注
