已知函数 $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ 满足：
① $f(m+n)=f(m)+f(n)-1$；
② 当 $x>0$ 时，$f(x)>1$．
解答以下问题：
① $f(m+n)=f(m)+f(n)-1$；
② 当 $x>0$ 时，$f(x)>1$．
解答以下问题：
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
-
求证：$f(x)$ 是增函数；标注答案略解析因为$$f(m+n)=f(m)+f(n)-1,$$所以$$f(m+n)-1=f(m)-1+f(n)-1,$$令 $g(x)=f(x)-1$，则$$g(m+n)=g(m)+g(n),$$且当 $x>0$ 时，$g(x)>0$．
对任意 $x_1,x_2\in\mathbb R$，且 $x_2>x_1$，有$$g(x_2)-g(x_1)=g(x_2-x_1)>0,$$所以 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数． -
若 $f(2012)=6037$，解不等式 $f\left(a^2-8a+13\right)<4$．标注答案$(2,6)$解析因为 $f(2012)=6037$，所以$$g(2012)=6036.$$因为$$g(n+1)-g(n)=g(1),$$所以$$g(n)=ng(1).$$所以$$g(1)=3.$$不等式$$f\left(a^2-8a+13\right)<4$$即$$g\left(a^2-8a+13\right)<3=g(1),$$所以$$a^2-8a+13<1,$$解得$$2<a<6.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
