对于两个定义域相同的函数 $f(x),g(x),$ 若存在实数 $m,n,$ 使得 $h(x)=mf(x)+ng(x),$ 则称函数 $h(x)$ 是由"基函数 $f(x),g(x)$ "生成的．
$(1)$ 若 $f(x)=x^2+3x$ 和 $g(x)=3x+4$ 生成一个偶函数 $h(x),$ 求 $h(2)$ 的值；
$(2)$ 若 $h(x)=2x^2+3x-1$ 是由 $f(x)=x^2+ax$ 和 $g(x)=x+b$ 生成，其中 $a,b\in\mathbb R$ 且 $ab\neq 0,$ 求 $\dfrac ab$ 的取值范围；
$(3)$ 利用"基函数 $f(x)=\log_4(4^x+1),g(x)=x-1$ "生成一个函数 $h(x),$ 使得 $h(x)$ 是偶函数且有最小值 $1,$ 求 $h(x)$ 的解析式．
$(1)$ 若 $f(x)=x^2+3x$ 和 $g(x)=3x+4$ 生成一个偶函数 $h(x),$ 求 $h(2)$ 的值；
$(2)$ 若 $h(x)=2x^2+3x-1$ 是由 $f(x)=x^2+ax$ 和 $g(x)=x+b$ 生成，其中 $a,b\in\mathbb R$ 且 $ab\neq 0,$ 求 $\dfrac ab$ 的取值范围；
$(3)$ 利用"基函数 $f(x)=\log_4(4^x+1),g(x)=x-1$ "生成一个函数 $h(x),$ 使得 $h(x)$ 是偶函数且有最小值 $1,$ 求 $h(x)$ 的解析式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
$(1)$ 略．
$(2)$ 设 $h(x)=mf(x)+ng(x),$ 即$$2x^2+3x-1=m(x^2+ax)+n(x+b),$$可得$$(2,3,-1)=(m,am+n,nb),$$于是有$$(a,b)=(\dfrac{3-n}2,-\dfrac1n),$$则$$\dfrac ab=\dfrac12(n^2-3n)=F(n),n\neq0\wedge n\neq 3$$易求 $F(n)$ 的取值范围为 $\left[-\dfrac98,0\right)\cup\left(0,+\infty\right).$
$(3)$ 由题设$$h(x)=m\log_4(4^x+1)+n(x-1),$$由 $h(x)$ 为偶函数，则有 $h(1)-h(-1)=0,$ 即有$$m\log_45-m\log_4\dfrac54+2n=0,$$所以 $m=-2n,$ 则$$h(x)=n\left[x-1-2\log_4(4^x+1)\right]$$经验证为偶函数，因此仅需 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的最小值为1即可，设 $h(x)=n\varphi (x)$．又因为$$\varphi(x)=x-1-2\log_4(4^x+1)\leqslant x-1-2\log_4(2\cdot 2^x)=-2,$$当且仅当 $x=0$ 时取等，且当 $x\to\pm\infty,\varphi(x)\to -\infty$ 因此若要使得 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的最小值为1，则需 $n=-\dfrac12.$
综上可得 $h(x)=\dfrac12[2\log_4(4^x+1)-x+1].$
$(2)$ 设 $h(x)=mf(x)+ng(x),$ 即$$2x^2+3x-1=m(x^2+ax)+n(x+b),$$可得$$(2,3,-1)=(m,am+n,nb),$$于是有$$(a,b)=(\dfrac{3-n}2,-\dfrac1n),$$则$$\dfrac ab=\dfrac12(n^2-3n)=F(n),n\neq0\wedge n\neq 3$$易求 $F(n)$ 的取值范围为 $\left[-\dfrac98,0\right)\cup\left(0,+\infty\right).$
$(3)$ 由题设$$h(x)=m\log_4(4^x+1)+n(x-1),$$由 $h(x)$ 为偶函数，则有 $h(1)-h(-1)=0,$ 即有$$m\log_45-m\log_4\dfrac54+2n=0,$$所以 $m=-2n,$ 则$$h(x)=n\left[x-1-2\log_4(4^x+1)\right]$$经验证为偶函数，因此仅需 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的最小值为1即可，设 $h(x)=n\varphi (x)$．又因为$$\varphi(x)=x-1-2\log_4(4^x+1)\leqslant x-1-2\log_4(2\cdot 2^x)=-2,$$当且仅当 $x=0$ 时取等，且当 $x\to\pm\infty,\varphi(x)\to -\infty$ 因此若要使得 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的最小值为1，则需 $n=-\dfrac12.$
综上可得 $h(x)=\dfrac12[2\log_4(4^x+1)-x+1].$
答案
解析
备注
