求数列 $1,3+7,13+21+31,43+57+73+91,\cdots$ 的第 $21$ 项中的第 $12$ 个数．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$49063$
【解析】
已知数列的前 $20$ 项中共有$$1+2+3+\cdots +20=210(\text{个数}),$$所以第 $21$ 项中的第 $12$ 个数是数列$$1,3,7,13,21,\cdots $$的第 $222$ 项．
记数列 $1,3,7,13,21,\cdots $ 为 $\{a_n\}$，则$$a_{n+1}-a_n=2n,a_1=1,$$累加得$$a_n=n^2-n+1,$$所以$$a_{222}=49063.$$
记数列 $1,3,7,13,21,\cdots $ 为 $\{a_n\}$，则$$a_{n+1}-a_n=2n,a_1=1,$$累加得$$a_n=n^2-n+1,$$所以$$a_{222}=49063.$$
答案
解析
备注
