在 $AB=6$，$AD=4$ 的矩形纸片 $ABCD$ 中剪去圆 $M$ 与圆 $M'$，其中圆 $M$ 与 $AB,AD$ 相切，圆 $M'$ 与 $BC,CD$ 相切，且圆 $M$ 与圆 $M'$ 外切，则剩余部分的面积是否有最大值与最小值？若有，求出最值；若没有，请说明理由．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
最大值为 $24-\left(74-40\sqrt 3\right)\pi$；最小值为 $24-\left(116-64\sqrt 3\right)\pi$
【解析】
设圆 $M$ 和圆 $M'$ 的半径分别为 $a,b$，则$$MM'=a+b,MN=6-(a+b),M'N=4-(a+b).$$所以$$\left[6-(a+b)\right]^2+\left[4-(a+b)\right]^2=(a+b)^2,$$所以$$a+b=10-4\sqrt 3.$$当圆 $M$ 与 $CD,AD,AB$ 均相切时，圆 $M$ 半径最大为 $2$；由对称性知，圆 $M'$ 半径最大值也为 $2$，且此时圆 $M$ 的半径最小为 $8-4\sqrt 3$，所以$$8-4\sqrt 3\leqslant a\leqslant 2.$$设剩余部分面积为 $S$，则\[\begin{split}S&=24-\pi\left(a^2+b^2\right)\\&=24-\pi\left[a^2+\left(10-4\sqrt 3 -a\right)^2\right]\\&=24-2\pi\left[\left(a-5+2\sqrt 3\right)^2+37-20\sqrt 3\right]\end{split}\]进而可得当 $a=5-2\sqrt 3$ 时，$$S_{\max}=24-\left(74-40\sqrt 3\right)\pi;$$当 $a=2$ 时，$$S_{\min}=24-\left(116-64\sqrt 3\right)\pi.$$
答案
解析
备注
