已知正实数 $a,b,c$ 满足 $\dfrac{a^2}{1+a^2}+\dfrac{b^2}{1+b^2}+\dfrac{c^2}{1+c^2}=1$，求证：$abc\leqslant\dfrac{\sqrt2 }{4}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
换元$$(x,y,z)=\left(\dfrac{a^2}{1+a^2},\dfrac{b^2}{1+b^2},\dfrac{c^2}{1+c^2}\right),$$则$$\left(a,b,c\right)=\left(\sqrt{\dfrac x{1-x}},\sqrt{\dfrac y{1-y}},\sqrt{\dfrac{z}{1-z}}\right),$$且 $x+y+z=1$，于是$$\begin{split}LHS&=\sqrt{\dfrac{xyz}{(1-x)(1-y)(1-z)}}\\
&=\sqrt{\dfrac{xyz}{(y+z)(x+z)(x+y)}}\\
&\leqslant\sqrt{\dfrac{xyz}{8\cdot\sqrt{yz}\cdot\sqrt{xz}\cdot\sqrt{xy}}}\\
&=RHS,\end{split}$$原命题得证．
&=\sqrt{\dfrac{xyz}{(y+z)(x+z)(x+y)}}\\
&\leqslant\sqrt{\dfrac{xyz}{8\cdot\sqrt{yz}\cdot\sqrt{xz}\cdot\sqrt{xy}}}\\
&=RHS,\end{split}$$原命题得证．
答案
解析
备注
