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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
23858 5909332c060a05000a338f72 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x\ln x-\dfrac{k}{x}$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$． 2022-04-17 20:26:31
23857 590933cb060a05000970b2b9 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单调函数，且对任意 $x>0$，有 $f(x)\cdot f\left(f(x)+\dfrac 1x\right)=1$，求 $f(x)$． 2022-04-17 20:25:31
23856 59093550060a050008cff42d 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2-2a_n+2}-1$（$n\in\mathbb N^*$），求证：$\dfrac 14n<a_1+a_2+\cdots +a_n\leqslant n$． 2022-04-17 20:25:31
23855 5909360d060a05000970b2cf 高中 解答题 高中习题 讨论函数 $f(x)=x^2+2(1-a)x-4a$ 与函数 $g(x)=\dfrac 1x-(a+1)^2$ 的图象的公切线条数． 2022-04-17 20:25:31
23854 59093681060a050008cff435 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，$x$ 轴上有不同于长轴端点的两点 $M(m,0)$ 和 $N(n,0)$，过 $M$ 作直线 $AB$ 与椭圆 $E$ 交于点 $A,B$，直线 $AN$ 和直线 $BN$ 分别交椭圆 $E$ 于 $C,D$，求证：直线 $AB$ 与直线 $CD$ 的斜率之比为定值． 2022-04-17 20:24:31
23853 59093840060a05000970b2e1 高中 解答题 高中习题 已知 $A,B,C$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的三个定点，$O$ 为坐标原点，且直线 $OC$ 平分弦 $AB$．$P$ 为椭圆 $E$ 上的动点，直线 $PA,PB$ 分别交直线 $OC$ 于点 $M,N$，$\dfrac{|OM|\cdot |ON|}{|OC|^2}$ 是否为定值？若为定值，求出该定值并证明；若不为定值，请说明理由． 2022-04-17 20:24:31
23852 590938e6060a050008cff440 高中 解答题 高中习题 已知圆 $O:x^2+y^2=4$，$F(0,2)$，点 $A,B$ 是圆 $O$ 上的动点，且 $|FA|\cdot |FB|=4$，是否存在与动直线 $AB$ 恒相切的定圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． 2022-04-17 20:24:31
23851 590942ec060a050008cff486 高中 解答题 高中习题 过点 $T(2,3)$ 作直线 $l$ 交椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 于两个不同的点 $P,Q$，过 $P,Q$ 作椭圆的切线，两条切线交于点 $M$，$O$ 为原点，已知四边形 $POQM$ 的面积为 $4$，求直线 $l$ 的方程． 2022-04-17 20:23:31
23850 59094c3b060a05000970b36e 高中 解答题 高中习题 已知方程 $x^2-2a\sin (\cos x)+a^2=0$ 有唯一实数解，求参数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:22:31
23849 59094cb9060a05000b3d1f9c 高中 解答题 高中习题 给定双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$，过它的一个焦点作直线 $l$，交 $C$ 于点 $P$ 和 $Q$，$A_1,A_2$ 分别为 $C$ 的实轴端点，求 $PA_1$ 与 $QA_2$ 的交点的轨迹方程． 2022-04-17 20:22:31
23848 59094f78060a05000a339049 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1,a_2=\dfrac 12$，且对任意整数 $n>2$ 均有$$n\left(n+1\right)a_{n+1}a_n+na_na_{n-1}=\left(n+1\right)^2a_{n+1}a_{n-1}.$$ 2022-04-17 20:22:31
23847 59094f54060a05000b3d1fba 高中 解答题 高中习题 已知 $a_n=\dfrac{3^n}{3^n+2}$，求证：$a_1+a_2+\cdots +a_n>\dfrac{n^2}{n+1}$． 2022-04-17 20:21:31
23846 590952f0060a05000b3d1fdd 高中 解答题 高中习题 已知 $f\left(x\right)$ 是定义在 $\left[a,b\right]$ 上的函数，如果存在常数 $M>0$，对区间 $\left[a,b\right]$ 的任意划分：$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b,$$和式$$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|\leqslant M$$恒成立，则称 $f\left(x\right)$ 为 $\left[a,b\right]$ 上的"绝对差有界函数"． 2022-04-17 20:21:31
23845 590944c4060a05000970b345 高中 解答题 高中习题 证明：$(x,y)=(1,2)$ 是方程组 $\begin{cases} x(x+y)^2=9,\\ x(y^3-x^3)=7,\end{cases}$ 的唯一的实数解． 2022-04-17 20:20:31
23844 5909549d060a05000b3d1ff2 高中 解答题 高中习题 设 $0<p\leqslant a,b,c,d,e\leqslant q$，求证：$$(a+b+c+d+e)\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c+\dfrac 1d+\dfrac 1e\right)\leqslant 25+6\left(\sqrt{\dfrac pq}-\sqrt{\dfrac qp}\right)^2.$$ 2022-04-17 20:20:31
23843 59095500060a05000a33908e 高中 解答题 高中习题 已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 与坐标轴交于 $A,B,C$ 三点．求证：$\triangle ABC$ 的外接圆恒过一定点 $P$． 2022-04-17 20:20:31
23842 5909559b060a05000b3d2001 高中 解答题 高中习题 设 $a\geqslant 0$，在复数集 $\mathbb C$ 中解方程：$z^2+2|z|=a$． 2022-04-17 20:19:31
23841 590970a539f91d0007cc92f9 高中 解答题 高中习题 当 $m,a,b$ 满足什么关系时，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）和抛物线 $y=x^2+m$ 有四个不同的交点？并证明这四个交点共圆． 2022-04-17 20:19:31
23840 5909723f39f91d0009d4bf9f 高中 解答题 高中习题 设椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），线段 $PQ$ 是过左焦点 $F$ 且不与 $x$ 轴垂直的焦点弦．若在左准线上存在点 $R$，使 $\triangle PQR$ 为正三角形，求椭圆的离心率 $e$ 的取值范围，并用 $e$ 表示直线 $PQ$ 的斜率． 2022-04-17 20:19:31
23839 5909745539f91d0008f04fb6 高中 解答题 高中习题 已知等差数列 $\{a_n\}$ 中 $a_n>0$，求证：$\left(1+\dfrac 1{a_1}\right)\left(1+\dfrac 1{a_2}\right)\cdots \left(1+\dfrac{1}{a_n}\right)\leqslant \left(1+\dfrac{a_1+a_n}{2a_1a_n}\right)^n$． 2022-04-17 20:18:31
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