讨论函数 $f(x)=x^2+2(1-a)x-4a$ 与函数 $g(x)=\dfrac 1x-(a+1)^2$ 的图象的公切线条数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $a<1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$ 时，只有 $1$ 条公切线；
当 $a=1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$ 时，有 $2$ 条公切线；
当 $a>1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$ 时，有 $3$ 条公切线
当 $a=1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$ 时，有 $2$ 条公切线；
当 $a>1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$ 时，有 $3$ 条公切线
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)=2x+2(1-a)$，函数 $g(x)$ 的导函数 $g'(x)=-\dfrac 1{x^2}$，设公切线在 $f(x)$ 和 $g(x)$ 图象上的切点横坐标分别为 $m,\dfrac 1n$（$n\neq 0$），则切线方程为$$y=[2m+2(1-a)](x-m)+m^2+2(1-a)m-4a,$$同时亦为$$y=-n^2\left(x-\dfrac 1n\right)+n-(a+1)^2,$$因此有$$\begin{cases} 2m+2-2a=-n^2,\\ -m^2-4a=2n-(a+1)^2,\end{cases}$$即$$\begin{cases} n^2+2m=2(a-1),\\ m^2+2n=(a-1)^2,\end{cases}$$且每一组解 $(m,n)$ 对应一条公切线．由第一个等式可得$$m=-\dfrac 12n^2+(a-1),$$代入第二个等式并整理得$$a-1=\dfrac 14n^2+\dfrac 2n,$$设 $h(x)=\dfrac 14x^2+\dfrac 2x$，则其导函数$$h'(x)=\dfrac{x^3-4}{2x^2},$$于是函数 $h(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在 $\left(0,\sqrt[3]{4}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt[3]{4},+\infty\right)$ 上单调递增，如图．
因此当 $a<1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$ 时，只有 $1$ 条公切线；当 $a=1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$ 时，有 $2$ 条公切线；当 $a>1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$ 时，有 $3$ 条公切线．
因此当 $a<1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$ 时，只有 $1$ 条公切线；当 $a=1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$ 时，有 $2$ 条公切线；当 $a>1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$ 时，有 $3$ 条公切线．
答案
解析
备注
