已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2-2a_n+2}-1$（$n\in\mathbb N^*$），求证：$\dfrac 14n<a_1+a_2+\cdots +a_n\leqslant n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设函数 $f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}-1$，则其不动点为 $x=\dfrac 14$，且 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上单调递减，如图．
由于当 $x\in [0,1]$ 时，$f(x)\in [0,1]$，且 $f(x)$ 单调递减，于是不难证明$$0\leqslant a_{2n}<\dfrac 14<a_{2n-1}\leqslant 1,$$且 $\{a_{2n}\}$ 单调递增，而 $\{a_{2n-1}\}$ 单调递减，从而$$a_1+a_2+\cdots +a_n\leqslant n.$$设 $b_n=a_n-\dfrac 14$，则有$$b_{n+1}+\dfrac 14=\sqrt{\left(b_n+\dfrac 14\right)^2-2\left(b_n+\dfrac 14\right)+2}-1,$$整理得$$\left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right|=\left|\dfrac{b_n-\dfrac 32}{b_{n+1}+\dfrac 52}\right|=\dfrac{\dfrac 74-a_n}{a_{n+1}+\dfrac 94}<\dfrac{\dfrac 74-0}{0+\dfrac 94}=\dfrac 79.$$而左边的不等式等价于$$b_1+b_2+\cdots +b_n>0.$$由于 $b_1=\dfrac 34$，$b_2=-\dfrac 14$，$b_3=\sqrt 2-\dfrac 54$，因此 $n=1,2,3$ 时左边不等式均成立．当 $n>3$ 时，有$$\begin{split} b_1+b_2+\cdots +b_n>&b_1+b_3+\dfrac{b_2}{1-\left(\dfrac 79\right)^2}\\=&\dfrac 34+\left(\sqrt 2-\dfrac 54\right)-\dfrac{\dfrac 14}{1-\left(\dfrac 79\right)^2}\\=&\sqrt 2-\dfrac{145}{128}>0,\end{split} $$因此左边不等式得证．
综上所述，原命题得证．
由于当 $x\in [0,1]$ 时，$f(x)\in [0,1]$，且 $f(x)$ 单调递减，于是不难证明$$0\leqslant a_{2n}<\dfrac 14<a_{2n-1}\leqslant 1,$$且 $\{a_{2n}\}$ 单调递增，而 $\{a_{2n-1}\}$ 单调递减，从而$$a_1+a_2+\cdots +a_n\leqslant n.$$设 $b_n=a_n-\dfrac 14$，则有$$b_{n+1}+\dfrac 14=\sqrt{\left(b_n+\dfrac 14\right)^2-2\left(b_n+\dfrac 14\right)+2}-1,$$整理得$$\left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right|=\left|\dfrac{b_n-\dfrac 32}{b_{n+1}+\dfrac 52}\right|=\dfrac{\dfrac 74-a_n}{a_{n+1}+\dfrac 94}<\dfrac{\dfrac 74-0}{0+\dfrac 94}=\dfrac 79.$$而左边的不等式等价于$$b_1+b_2+\cdots +b_n>0.$$由于 $b_1=\dfrac 34$，$b_2=-\dfrac 14$，$b_3=\sqrt 2-\dfrac 54$，因此 $n=1,2,3$ 时左边不等式均成立．当 $n>3$ 时，有$$\begin{split} b_1+b_2+\cdots +b_n>&b_1+b_3+\dfrac{b_2}{1-\left(\dfrac 79\right)^2}\\=&\dfrac 34+\left(\sqrt 2-\dfrac 54\right)-\dfrac{\dfrac 14}{1-\left(\dfrac 79\right)^2}\\=&\sqrt 2-\dfrac{145}{128}>0,\end{split} $$因此左边不等式得证．综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
