题目 已知 $f\left(x\right)$ 是定义在 $\left[a,b\right]$ 上的函数，如果存在常数 $M>0$，对区间 $\left[a,b\right]$ 的任意划分：$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b,$$和式$$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|\leqslant M$$恒成立，则称 $f\left(x\right)$ 为 $\left[a,b\right]$ 上的"绝对差有界函数"． 问题1 证明函数 $f\left(x\right)=\sin x+\cos x$ 在 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {2},0\right]$ 上是"绝对差有界函数"； 答案1 略 解析1 由于 $f(x)=\sqrt 2\sin\left(x+\dfrac{\mathrm \pi} 4\right)$ 在区间 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} 2,0\right]$ 上是单调递增函数，因此$$\begin{split} \sum\limits_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|=&\sum\limits_{i=1}^n\left(f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right)\\=&f(0)-f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)=2,\end{split} $$因此函数 $f\left(x\right)=\sin x+\cos x$ 在 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {2},0\right]$ 上是"绝对差有界函数"． 备注1 问题2 证明函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}x\cos\dfrac{\mathrm \pi} {2x},&0<x\leqslant 1,\\ 0,&x=0.\end{cases}$ 不是 $\left[0,1\right]$ 上的"绝对差有界函数"； 答案2 略 解析2 取方程 $\cos\dfrac{\mathrm \pi} {2x}=0$ 的一部分解 $x=\dfrac{1}{2k+1}$，$k\in\mathbb N^*$，以及方程 $\cos\dfrac{\mathrm \pi} {2x}=\pm 1$ 的一部分解 $x=\dfrac{1}{2k}$，$k\in\mathbb N^*$．于是取 $n=2k+1$ 的划分$$0,\dfrac{1}{2k+1},\dfrac{1}{2k},\cdots ,\dfrac 13,\dfrac 12,1,$$和式$$\begin{split} \sum\limits_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|=&2\left(\dfrac 12+\dfrac 14+\cdots +\dfrac 1{2k}\right)\\=&1+\dfrac 12+\cdots +\dfrac 1k,\end{split} $$我们熟知右侧和式无界，因此命题得证． 备注2 问题3 记集合$$A=\left\{f\left(x\right)\mid \exists k>0, \forall x_1,x_2\in\left[a,b\right], |f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)|\leqslant k|x_1-x_2| \right\},$$证明集合 $A$ 中的任意函数 $f\left(x\right)$ 为"绝对差有界函数"，并判断 $g\left(x\right)=2016\sin\left(2016x\right)$ 是否在集合 $A$ 中，如果在，请证明并求 $k$ 的最小值；如果不在，请说明理由． 答案3 在，$k$ 的最小值为 $2016^2$ 解析3 集合 $A$ 中的任意函数 $f(x)$ 均满足和式$$\sum\limits_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|\leqslant k\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i-x_{i-1}\right|=k(b-a),$$因此集合 $A$ 中的任意函数 $f\left(x\right)$ 为"绝对差有界函数"．<br/>考虑到$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2016\sin(2016 x)}{x}=2016^2,$$于是 $k$ 的最小值为 $2016^2$，证明如下．对任意 $x_1,x_2\in [a,b]$，有\[\begin{split} \left|2016\sin (2016 x_1)-2016\sin (2016x_2)\right|&=2016\left|2\cos[1008(x_1+x_2)]\sin[1008(x_1-x_2)]\right|\\ &\leqslant 2016|2\sin [1008(x_1-x_2)]|\\ &\leqslant 2016|2\cdot 1008(x_1-x_2)|\\ &=2016^2|x_1-x_2|,\end{split}\]因此 $g\left(x\right)=2016\sin\left(2016x\right)$ 在集合 $A$ 中，且 $k$ 的最小值为 $2016^2$． 备注3 每日一题[623]绝对值有界函数．