设 $a\geqslant 0$，在复数集 $\mathbb C$ 中解方程：$z^2+2|z|=a$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\begin{cases} 0,\pm 2{\mathrm i},& a=0,\\ \pm(\sqrt{a+1}-1),(1\pm\sqrt{1-a}){\mathrm i},-(1\pm\sqrt{1-a}){\mathrm i},&0<a<1,\\
\pm(\sqrt 2-1),\pm {\mathrm i},&a=1,\\ \pm(\sqrt{a+1}-1),&a>1.\end{cases}$
\pm(\sqrt 2-1),\pm {\mathrm i},&a=1,\\ \pm(\sqrt{a+1}-1),&a>1.\end{cases}$
【解析】
设 $z=r(\cos\theta+{\mathrm i}\sin\theta)$（$r\geqslant 0,\theta\in [0,2{\mathrm \pi})$），则$$r^2(\cos 2\theta+{\mathrm i}\sin 2\theta)+2r=a,$$于是$$\begin{cases} r^2\cos 2\theta+2r=a,\\ r^2\sin 2\theta=0,\end{cases}$$情形一 $r=0$．
此时 $z=0$，对应 $a=0$．
情形二 $\theta=0,{\mathrm \pi}$．
此时 $r^2+2r=a$，解得 $r=\sqrt{a+1}-1$．
情形三 $\theta=\dfrac{\mathrm \pi} 2,\dfrac{3{\mathrm \pi}}2$．
此时 $-r^2+2r=a$，解得 $r=1\pm \sqrt{1-a}$（$0\leqslant a\leqslant 1$）．
综上所述，原方程的解为$$\begin{cases} 0,\pm 2{\mathrm i},& a=0,\\ \pm(\sqrt{a+1}-1),(1\pm\sqrt{1-a}){\mathrm i},-(1\pm\sqrt{1-a}){\mathrm i},&0<a<1,\\
\pm(\sqrt 2-1),\pm {\mathrm i},&a=1,\\ \pm(\sqrt{a+1}-1),&a>1.\end{cases}$$
此时 $z=0$，对应 $a=0$．
此时 $r^2+2r=a$，解得 $r=\sqrt{a+1}-1$．
此时 $-r^2+2r=a$，解得 $r=1\pm \sqrt{1-a}$（$0\leqslant a\leqslant 1$）．
综上所述，原方程的解为$$\begin{cases} 0,\pm 2{\mathrm i},& a=0,\\ \pm(\sqrt{a+1}-1),(1\pm\sqrt{1-a}){\mathrm i},-(1\pm\sqrt{1-a}){\mathrm i},&0<a<1,\\
\pm(\sqrt 2-1),\pm {\mathrm i},&a=1,\\ \pm(\sqrt{a+1}-1),&a>1.\end{cases}$$
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