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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
23838 5909857e39f91d000a7e4546 高中 解答题 高中习题 已知 $n\in\mathbb N^*$，求证：$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots +\dfrac{1}{3n+1}<\dfrac{11}{10}$． 2022-04-17 20:18:31
23837 5909797d39f91d000a7e44f6 高中 解答题 高中习题 已知实数 $a,b$ 满足 $a^2\geqslant 4b$，求 $(1-a)^2+(a-b)^2+(1-b)^2$ 的最小值． 2022-04-17 20:18:31
23836 59097a0339f91d0007cc9336 高中 解答题 高中习题 过点 $P(3,1)$ 的动直线 $l$ 与双曲线 $C:\dfrac{x^2}3-y^2=1$ 的左、右两支分别交于点 $A,B$，在线段 $AB$ 上取不同于 $A,B$ 的点 $Q$，满足 $|AP|\cdot |QB|=|AQ|\cdot |PB|$，求证：点 $Q$ 总在某条定直线上． 2022-04-17 20:17:31
23835 5909889c39f91d000a7e4576 高中 解答题 高中习题 求 $\left(5+\sqrt{22}\right)^{2016}$ 的个位数． 2022-04-17 20:17:31
23834 5909937938b6b40008d7bb95 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\geqslant 1$，$a_1=1$，$a_2=1+\dfrac{\sqrt 2}2$，$\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}-1}\right)^2+\left(\dfrac{a_n-1}{a_{n-1}}\right)^2=2$，求证：$$\dfrac 23<\dfrac{a_n}n<\dfrac 23\left(1+\dfrac 1n\right).$$ 2022-04-17 20:16:31
23833 59098ac639f91d0008f05085 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=8x^3+ax^2+bx$，是否存在实数 $a,b$，使得对任意 $x\in [-1,1]$，均有 $|f(x)|\leqslant 2$．若存在，求出 $a,b$ 的值；若不存在，请说明理由． 2022-04-17 20:16:31
23832 59c76938778d470007d0f21f 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=(x-2){\rm e}^x+a(x-1)^2$． 2022-04-17 20:15:31
23831 59b73300b04965000728318f 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=0$，令 $d=\max\{|a|,|b|,|c|\}$．证明：\[|(1+a)(1+b)(1+c)|\geqslant1-d^2.\] 2022-04-17 20:14:31
23830 59b73325b049650008cb66ed 高中 解答题 自招竞赛 如图，点 $D$ 是锐角 $\triangle ABC$ 的外接圆 $\omega$ 上弧 $BC$ 的中点，直线 $DA$ 与圆 $\omega$ 过点 $B,C$ 的切线分别相交于点 $P,Q$，$BQ$ 与 $AC$ 的交点为 $X$，$CP$ 与 $AB$ 的交点为 $Y$，$BQ$ 与 $CP$ 的交点为 $T$．求证：$AT$ 平分线段 $XY$． 2022-04-17 20:13:31
23829 59082b68060a05000a4a981f 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=x^2-2x+c$，若 $\{x\mid f(x)=x\}=\{x\mid f(f(x))=x\}$，求实数 $c$ 的取值范围． 2022-04-17 20:13:31
23828 59b73402b049650008cb66f6 高中 解答题 自招竞赛 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心．以 $A$ 为圆心，$AB$ 为半径作圆 $\varGamma_1$，以 $I$ 为圆心，$IB$ 为半径作圆 $\varGamma_2$，过点 $B,I$ 的圆 $\varGamma_3$ 与 $\varGamma_1,\varGamma_2$ 分别交于点 $P,Q$（不同于点 $B$）．设 $IP$ 与 $BQ$ 交于点 $R$．证明：$BR\perp CR$． 2022-04-17 20:12:31
23827 5909970138b6b400072dd23d 高中 解答题 高中习题 如图，已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的上顶点为 $A$，过点 $A$ 作圆 $M:(x+1)^2+y^2=r^2$（$0<r<1$）的两条切线分别与椭圆 $C$ 相交于点 $B,D$（不同于点 $A$）．当 $r$ 变化时，试问直线 $BD$ 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 2022-04-17 20:12:31
23826 590a853c6cddca0008610d34 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}a_n-1=a_n^2$． 2022-04-17 20:11:31
23825 590a93146cddca00092f6ed0 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 为等差数列，若 $A-C=\dfrac{\pi}2$，求 $a:b:c$． 2022-04-17 20:11:31
23824 597e91efd05b90000b5e30bf 高中 解答题 高考真题 设函数 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{a}{2}{x^2} + bx + c$，其中 $a > 0$．曲线 $y = f\left( x \right)$ 在点 $P\left( {0 , f\left( 0 \right)} \right)$ 处的切线方程为 $y = 1$． 2022-04-17 20:10:31
23823 59118235e020e700094b09fb 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=(x-2){\rm e}^x+a(x-1)^2$ 有两个零点． 2022-04-17 20:09:31
23822 59117156e020e7000a798896 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x-\ln x$ 的图象与直线 $y=m$ 交于不同的两点 $(x_1,m)$ 和 $(x_2,m)$，求证：$x_1x_2^2<2$． 2022-04-17 20:08:31
23821 595a369a866eeb000914b473 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x-\ln x$ 的图象与直线 $y=m$ 交于不同的两点 $(x_1,m)$ 和 $(x_2,m)$，求证：$x_1x_2^2<2$． 2022-04-17 20:08:31
23820 599165c02bfec200011dfeea 高中 解答题 高考真题 ${\mathrm \pi} $ 为圆周率，${\mathrm{e}} = 2.71828 \cdots $ 为自然对数的底数． 2022-04-17 20:07:31
23819 5909707e39f91d000a7e44c8 高中 解答题 高中习题 将 ${\mathrm e}^3$，$3^{\mathrm e}$，$\pi^{\mathrm e}$，${\mathrm e}^\pi$，$3^\pi$，$\pi^3$ 从小到大排列． 2022-04-17 20:07:31
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