已知 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单调函数，且对任意 $x>0$，有 $f(x)\cdot f\left(f(x)+\dfrac 1x\right)=1$，求 $f(x)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$f(x)=\dfrac{1+\sqrt 5}{2x}$ 或 $f(x)=\dfrac{1-\sqrt 5}{2x}$
【解析】
根据题意，有$$f\left(f(x)+\dfrac 1x\right)\cdot f\left(f\left(f(x)+\dfrac 1x\right)+\dfrac{1}{f(x)+\dfrac 1x}\right)=1,$$又$$f(x)\cdot f\left(f(x)+\dfrac 1x\right)=1,$$于是$$f\left(f\left(f(x)+\dfrac 1x\right)+\dfrac{1}{f(x)+\dfrac 1x}\right)=f(x).$$由于 $f(x)$ 是单调函数，因此$$f\left(f(x)+\dfrac 1x\right)+\dfrac{1}{f(x)+\dfrac 1x}=x,$$即$$\dfrac{1}{f(x)}+\dfrac{1}{f(x)+\dfrac 1x}=x,$$解得 $f(x)=\dfrac{1+\sqrt 5}{2x}$ 或 $f(x)=\dfrac{1-\sqrt 5}{2x}$．
经验证，这两个函数均符合题意，这样就得到了所有符合题意的 $f(x)$．
经验证，这两个函数均符合题意，这样就得到了所有符合题意的 $f(x)$．
答案
解析
备注
