证明：$(x,y)=(1,2)$ 是方程组 $\begin{cases} x(x+y)^2=9,\\ x(y^3-x^3)=7,\end{cases}$ 的唯一的实数解．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，显然有 $y>x>0$，从而由第一个方程可得 $y=\dfrac{3}{\sqrt x}-x$，代入第二个方程有$$x\left[\left(\dfrac{3}{\sqrt x}-x\right)^3-x^3\right]=7,$$令 $\sqrt x=m$ 并整理得$$2m^9-9m^6+27m^3+7m-27=0,$$即$$(m-1)(2m^8+2m^7+2m^6-7m^5-7m^4-7m^3+20m^2+20m+27)=0,$$显然有$$(2m^8+20m^2)+(2m^7+20m)+(2m^6+27)\geqslant 2\sqrt{40}m^5+2\sqrt{40}m^4+2\sqrt{54}m^3,$$因此关于 $m$ 的方程有且只有实数根 $m=1$，进而原命题得证．
答案
解析
备注
