设 $0<p\leqslant a,b,c,d,e\leqslant q$，求证：$$(a+b+c+d+e)\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c+\dfrac 1d+\dfrac 1e\right)\leqslant 25+6\left(\sqrt{\dfrac pq}-\sqrt{\dfrac qp}\right)^2.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
将不等式左边看成关于 $a$ 的函数，可得$$LHS=\left(\dfrac 1b+\dfrac 1c+\dfrac 1d+\dfrac 1e\right)\cdot a+\left(b+c+d+e\right)\cdot\dfrac 1a+\left(b+c+d+e\right)\cdot\left(\dfrac 1b+\dfrac 1c+\dfrac 1d+\dfrac 1e\right)+1,$$由对勾函数的性质，可得函数取最大值时 $a=p$ 或 $a=q$．类似的，可得当 $a,b,c,d,e\in \{p,q\}$ 时，不等式左侧取得最大值．假设 $a,b,c,d,e$ 中有 $x$ 个 $p$，$5-x$ 个 $q$，则\[\begin{split} LHS&=[px+(5-x)q]\cdot\left[\dfrac{x}{p}+\dfrac{5-x}{q}\right]\\& =\left[(p-q)x+5q\right]\cdot \left[\left(\dfrac 1p-\dfrac 1q\right)x+\dfrac 5q\right]\\&=-\left(\sqrt{\dfrac pq}-\sqrt{\dfrac qp}\right)^2x^2+5\left(\sqrt{\dfrac pq}-\sqrt{\dfrac qp}\right)^2x+25\\ &\leqslant 25+6\left(\sqrt{\dfrac pq}-\sqrt{\dfrac qp}\right)^2,\end{split}\]等号当 $x=2$ 或 $x=3$ 时取得．因此原命题得证．
答案
解析
备注
