当 $m,a,b$ 满足什么关系时，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）和抛物线 $y=x^2+m$ 有四个不同的交点？并证明这四个交点共圆．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$b<2a^2$，且 $-a^2-\dfrac{b^2}{4a^2}<m<-b$ 时有四个不同的交点；共圆：$x^2+y^2-\left(1-\dfrac{b^2}{a^2}\right)y-b^2+\left(1-\dfrac{b^2}{a^2}\right)m=0$
【解析】
联立椭圆方程与抛物线方程，可得$$b^2(y-m)+a^2y^2=a^2b^2,$$因此题意即关于 $y$ 的方程$$a^2y^2+b^2y-b^2m-a^2b^2=0$$有两个大于 $m$ 的解，即$$\begin{cases} a^2m^2-a^2b^2>0,\\-\dfrac{b^2}{2a^2}>m,\\ \Delta=b^4+4a^2(b^2m+a^2b^2)>0,\end{cases}$$化简得 $b<2a^2$，且 $-a^2-\dfrac{b^2}{4a^2}<m<-b$．
考虑椭圆与抛物线的交点曲线$$\left(b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2\right)+(a^2-b^2)(x^2-y+m)=0,$$即$$x^2+y^2-\left(1-\dfrac{b^2}{a^2}\right)y-b^2+\left(1-\dfrac{b^2}{a^2}\right)m=0,$$该方程的曲线为圆，因此椭圆与抛物线的四个交点共圆．
考虑椭圆与抛物线的交点曲线$$\left(b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2\right)+(a^2-b^2)(x^2-y+m)=0,$$即$$x^2+y^2-\left(1-\dfrac{b^2}{a^2}\right)y-b^2+\left(1-\dfrac{b^2}{a^2}\right)m=0,$$该方程的曲线为圆，因此椭圆与抛物线的四个交点共圆．
答案
解析
备注
